Question

如圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A （8，0）．C （0.6），M是OA的中點(diǎn)．點(diǎn)P、Q從點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿MA的方向，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以相同的速度沿MO的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O后以相同的速度立即返回到點(diǎn)M，此時(shí)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)t（s），以PQ為一邊向上作正方形PQRL與矩形重疊的面積為S．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，PQ=

 

，當(dāng)t=5時(shí)，PQ=

 

．
（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）當(dāng)t=1時(shí)，根據(jù)速度公式計(jì)算出QM=1，PM=1，則PQ=2；當(dāng)t=5時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O后又向M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了1秒，則QM=4-（5-4）×1=3，PM=5，所以PQ=8；
（2）如圖1，當(dāng)正方形PQRL的邊長(zhǎng)不超過(guò)6，則2t≤3，解得t≤3，此時(shí)MQ=t，PM=t，PQ=2t，重疊部分為正方形，然后根據(jù)正方形面積公式得到S=4t²；
如圖2，當(dāng)正方形PQRL的邊長(zhǎng)超過(guò)6，且點(diǎn)Q在由點(diǎn)M向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)時(shí)，即3＜t≤4，此時(shí)MQ=t，PM=t，PQ=2t，重疊部分為矩形，根據(jù)矩形的面積公式得到S=12t；
如圖3，當(dāng)正方形PQRL的邊長(zhǎng)超過(guò)6，且點(diǎn)Q在由點(diǎn)O向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，即4＜t≤8，此時(shí)OQ=t-4，PQ=12-t，重疊部分為矩形，根據(jù)矩形的面積公式得S=72-6t．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A （8，0）．C （0.6），M是OA的中點(diǎn)，
∴OM=AM=4，
當(dāng)t=1時(shí)，QM=1，PM=1，則PQ=1+1=2；
當(dāng)t=5時(shí)，QM=4-（5-4）×1=3，PM=5×1=5，則PQ=3+5=8；
故答案為2，8；
（2）如圖1，

當(dāng)正方形PQRL在正方形ABCO的內(nèi)部，即正方形PQRL的邊長(zhǎng)不超過(guò)6，則2t≤3，解得t≤3，
所以當(dāng)0＜t≤3時(shí)，MQ=t，PM=t，PQ=2t，則S=PQ²=4t²；
如圖2，

當(dāng)正方形PQRL的邊長(zhǎng)超過(guò)6，且點(diǎn)Q在由點(diǎn)M向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)時(shí)，則3＜t≤4，
所以當(dāng)3＜t≤4時(shí)，MQ=t，PM=t，PQ=2t，則S=6PQ=6×2t=12t；
如圖3，

當(dāng)正方形PQRL的邊長(zhǎng)超過(guò)6，且點(diǎn)Q在由點(diǎn)O向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，則4＜t≤8，
所以當(dāng)4＜t≤8時(shí)，OQ=t-4，PQ=8-（t-4）=12-t，則S=6AQ=6（12-t）=72-6t，
綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系為S=

4t2(0＜t≤3) 12t(3＜t≤4) -6t+72(4＜t≤8)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握矩形和正方形的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用代數(shù)式解決有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題．