Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，
已知點(diǎn)P₀坐標(biāo)為（1，0），將線(xiàn)段OP₀繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°，再將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為OP₀的2倍，得到線(xiàn)段OP₁；將線(xiàn)段OP₁繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°，再將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為OP₁的2倍，得到線(xiàn)段OP₂，…，這樣依次得到線(xiàn)段OP₃，OP₄，…，OP_n．
則點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為

 

；
當(dāng)n=4m+1（m為自然數(shù)）時(shí)，點(diǎn)P_n的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)點(diǎn)P₀坐標(biāo)求出OP₀，然后分別求出OP₁，OP₂，OP₃，OP₄，…，OP_n，再根據(jù)點(diǎn)P₂在y軸負(fù)半軸寫(xiě)出坐標(biāo)即可；分m是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況確定出點(diǎn)P_n所在的象限，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)寫(xiě)出坐標(biāo)即可．

解答：解：∵P₀的坐標(biāo)為（1，0），
∴OP₀=1，
∴OP₁=2，OP₂=2×2=2²，
OP₃=2²×2=2³，
OP₄=2³×2=2⁴，
…，
OP_n=2^n-1×2=2ⁿ，
∵每次旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)P₀在x軸正半軸，
∴點(diǎn)P₂在y軸負(fù)半軸，
∴點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（0，-4）；

∵OP_n為所在象限的平分線(xiàn)上，
∴2ⁿ×

2

2

=

2

•2^n-1，
①m為奇數(shù)時(shí)，點(diǎn)P_n在第二象限，
點(diǎn)P_n（-

2

•2^n-1，

2

•2^n-1），
②m為偶數(shù)時(shí)，點(diǎn)P_n在第四象限，
點(diǎn)P_n（

2

•2^n-1，-

2

•2^n-1），
綜上所述，點(diǎn)P_n的坐標(biāo)為（-

2

•2^n-1，

2

•2^n-1）或（

2

•2^n-1，-

2

•2^n-1）．
故答案為：（0，-4）；（-

2

•2^n-1，

2

•2^n-1）或（

2

•2^n-1，-

2

•2^n-1）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，讀懂題目信息，理解并求出OP_n的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于要根據(jù)n的表示分情況討論．