Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．

（1）以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過A、D兩點(diǎn)作⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡），再判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若（1）中的⊙O與AB邊的另一個交點(diǎn)為E，AB=6，BD=2，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積．（結(jié)果保留根號和π）

Answer 1

【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；扇形面積的計算；作圖—復(fù)雜作圖．

【分析】（1）根據(jù)題意得：O點(diǎn)應(yīng)該是AD垂直平分線與AB的交點(diǎn)；由∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，與圓的性質(zhì)可證得AC∥OD，又由∠C=90°，則問題得證；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r．則在Rt△OBD中，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，通過解方程即可求得r的值；然后根據(jù)扇形面積公式和三角形面積的計算可以求得“線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為：S_△ODB﹣S_扇形ODE=2﹣π”．

【解答】解：（1）如圖：連接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ADO，

∴AC∥OD，

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，

∴OD⊥BC，

即直線BC與⊙O的切線，

∴直線BC與⊙O的位置關(guān)系為相切；

 

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=6﹣r，又BD=2，

在Rt△OBD中，

OD²+BD²=OB²，

即r²+（2）²=（6﹣r）²，

解得r=2，OB=6﹣r=4，

∴∠DOB=60°，

∴S_扇形ODE==π，

S_△ODB=OD•BD=×2×2=2，

∴線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為：S_△ODB﹣S_扇形ODE=2﹣π．

【點(diǎn)評】此題考查了切線的判定與性質(zhì)以及扇形面積與三角形面積的求解方法等知識．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．