已知一元二次方程x2-4x-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2,且x1<x2.若x1、x2分別是拋物線y=-x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)(如下圖所示).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)設(shè)(1)中的拋物線與y軸的交點(diǎn)為C,拋物線的頂點(diǎn)為D,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)并求出四邊形ABDC的面積;
(3)是否存在直線y=kx(k>0)與線段BD相交且把四邊形ABDC的面積分為相等的兩部分?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
[注:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()]
解:(1)由方程x2-4x-5=0得方程的兩根x1=-1,x2=5. 所以A、B的坐標(biāo)分別為A(-1,0)、B(5,0).……1分 把A(-1,0)、B(5,0)代入y=-x2+bx+c得 解得…………………………………………2分 ∴拋物線的解析式為y=-x2+4x+5.…………………………3分 (2)C(0,5)、D(2,9).………………………………………5分 如圖所示,過(guò)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E,則 S四邊形ACDB=S△AOC+S四邊形OCDE+S△EDB =…………6分 。 =16+14 。30.………………………………………………7分 (3)存在滿足條件的直線.………………………8分 設(shè)過(guò)B、D兩點(diǎn)的直線解析式為y=k1x+d,把B(5,0)、D(2,9)代入y=k1x+d得 ………………………………9分 解得 ∴直線BD的解析式為y=-3x+15.…………………………10分 設(shè)y=kx與y=-3x+15的交點(diǎn)為F(m,n),作直線OF,則S△OBF=,即OB×n=15, ∴×5n=15,∴n=6. 又∵點(diǎn)F(m,6)在y=-3x+15上, ∴6=-3m+15. ∴m=3. ∴點(diǎn)F(3,6).…………………………………………………11分 把點(diǎn)F(3,6)代入y=kx,得6=3k,即k=2.…………………12分 |
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