Question

9．（1）探究一
如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，BF的延長線交射線CD于點(diǎn)G，若$\frac{AF}{BF}$=3，求$\frac{CD}{CG}$的值．
（2）探究二
如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，BF的延長線交射線CD于點(diǎn)G，若$\frac{AF}{BF}$=m（m＞0），則$\frac{CD}{CG}$的值是$\frac{m}{2}$（用含m的代數(shù)式表示），試寫出解答過程．
（3）探究三
如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，且$\frac{BE}{EC}=n（n＞0）$，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，BF的延長線交射線CD于點(diǎn)G，若$\frac{AF}{BF}$=m（m＞0），則$\frac{CD}{CG}$的值是$\frac{mn}{n+1}$
（不寫解答過程）

Answer 1

分析 （1）本問體現(xiàn)“特殊”的情形，$\frac{AF}{BF}$=3是一個(gè)確定的數(shù)值．如答圖1，過E點(diǎn)作平行線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形和中位線的性質(zhì)，分別將各相關(guān)線段均統(tǒng)一用EH來表示，最后求得比值；
（2）本問體現(xiàn)“一般”的情形，$\frac{AF}{BF}$=m不再是一個(gè)確定的數(shù)值，但（1）問中的解題方法依然適用，如答圖2所示；
（3）本問體現(xiàn)“類比”與“轉(zhuǎn)化”的情形，將（1）（2）問中的解題方法推廣轉(zhuǎn)化到（3）中，如答圖3所示．

解答 解：（1）依題意，過點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，如圖1所示．
，則有△ABF∽△EHF，
∴$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=3，
∴AB=3EH．
∵?ABCD，EH∥AB，
∴EH∥CD，
又∵E為BC中點(diǎn)，
∴EH為△BCG的中位線，
∴CG=2EH．
∴$\frac{CD}{CG}$=$\frac{AB}{CG}$=$\frac{3EH}{2EH}$=$\frac{3}{2}$；

（2）如圖2，作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，則△EFH∽△AFB．
∴$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=m，
∴AB=mEH．
∵AB=CD，
∴CD=mEH．
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG．
∴$\frac{CG}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=2，
∴CG=2EH．
∴$\frac{CD}{CG}$=$\frac{m}{2}$．
故答案為：$\frac{m}{2}$．

（3）如圖3，所示，作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，則△EFH∽△AFB．
∴$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=m，
∴AB=mEH．
∵AB=CD，
∴CD=mEH．
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG，
∴$\frac{CG}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$，∵$\frac{BE}{EC}=n（n＞0）$，
∴$\frac{BC}{BE}=\frac{n+1}{n}$，
∴CG=$\frac{n+1}{n}$EH．
∴$\frac{CD}{CG}$=$\frac{mEH}{\frac{n+1}{n}EH}$=$\frac{mn}{n+1}$，
故答案為：$\frac{mn}{n+1}$．

點(diǎn)評 （1）此題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；③兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．
（2）此題還考查了類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要熟練掌握．