Question

8．已知△ABC，分別以AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，連接DC與BE，G、F分別是DC與BE的中點
（1）如圖1，DG=BF（用＞、＜或=填空）
（2）如圖2，連接AG，判斷△AFG的形狀，并說明理由；
（3）如圖3，若∠DAB=100°，則∠AFG=40°；
（4）在圖3中，若∠DAB=α，∠AFG=β，直接寫出α與β的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等式的性質(zhì)就可以得出∠DAC=∠BAE．就可以得出△ADC≌△ABE就可以得出DG=BF；
（2）如圖2，連接AG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE，∠ADC=∠ABE，由G、F分別是DC與BE的中點，得到DG=BF，推出△ADG≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）連接AG，根據(jù)條件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性質(zhì)就可以求出∠AFG的值，；
（4）連接AG，根據(jù)條件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性質(zhì)就可以表示β與a的關(guān)系．

解答 解：（1）∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC=BE，
∵G、F分別是DC與BE的中點，
∴DG=$\frac{1}{2}$CD，BF=$\frac{1}{2}$BE，
∴DG=BF；
故答案為：=；

（2）如圖2，連接AG，
∵△ADC≌△ABE，
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∵G、F分別是DC與BE的中點，
∴DG=$\frac{1}{2}$CD，BF=$\frac{1}{2}$BE，
∴DG=BF，
在△ADG與△ABF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADG=∠ABF}\\{DG=BF}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABF，
∴AG=AF，
∴△AFG是等腰三角形；

（3）如圖3，連接AG．
∵△ADC≌△ABE，
∴∠ADC=∠ABE．AD=AB．
∵G、F分別是DC與BE的中點，
∴DG=$\frac{1}{2}$DC，BF=$\frac{1}{2}$BE，
∴DG=BF．
在△ADG和△ABF中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADC=∠ABE}\\{DG=BF}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABF（SAS），
∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，
∴∠AGF=∠AFG，∠DAG-∠BAG=∠BAF-∠BAG，
∴∠DAB=∠GAF．
∵∠DAB=100°，
∴∠GAF=100°．
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，
∴∠AFG=40°；
故答案為：40°；

（4）∵∠DAB=a，
∴∠GAF=a．
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，
∴a+2β=180°．

點評 本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，等式的性質(zhì)的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，三角形內(nèi)角和定理的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．