Question

【題目】平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖1擺放，分別延長DA和QP交于點(diǎn)O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1.讓線段OD及矩形ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針方向開始旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤60°）.

發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在BC邊上時(shí)，求a的值即陰影部分的面積；

拓展：如圖3，當(dāng)線段OQ與CB邊交于點(diǎn)M，與BA邊交于點(diǎn)N時(shí)，設(shè)BM=x（x＞0），用含x的代數(shù)式表示BN的長，并求x的取值范圍.

探究：當(dāng)半圓K與矩形ABCD的邊相切時(shí)，直接寫出sinα的值.

Answer 1

【答案】發(fā)現(xiàn)：α=30°，S陰影=+；

拓展： BN=，0＜x≤2﹣1；

探究： sinα的值為：或或

【解析】

試題分析：首先設(shè)半圓K與PC交點(diǎn)為R，連接RK，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)R作RE⊥KQ于點(diǎn)E，則可求得∠RKQ的度數(shù)，于是求得答案；

拓展：如圖5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON∽△BMN，即可求得BN，如圖4，當(dāng)點(diǎn)Q落在BC上時(shí)，x取最大值，作QF⊥AD于點(diǎn)F，BQ=AF，則可求出x的取值范圍；

探究：半圓K與矩形ABCD的邊相切，分三種情況：①半圓K與BC相切于點(diǎn)T，②當(dāng)半圓K與AD相切于T，③當(dāng)半圓K與CD切線時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，且為切點(diǎn)；分別求解即可求得答案.

解：發(fā)現(xiàn)：如圖2，設(shè)半圓K與PC交點(diǎn)為R，連接RK，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，

過點(diǎn)R作RE⊥KQ于點(diǎn)E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，

∴∠POH=30°，

∴α=60°﹣30°=30°，

∵AD∥BC，

∴∠RPO=∠POH=30°，

∴∠RKQ=2×30°=60°，

∴S扇形KRQ==，

在Rt△RKE中，RE=RKsin60°=，

∴S△PRK=RE=，

∴S陰影=+；

拓展：如圖5，

∵∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，

∴△AON∽△BMN，

∴，即，

∴BN=，

如圖4，當(dāng)點(diǎn)Q落在BC上時(shí)，x取最大值，作QF⊥AD于點(diǎn)F，BQ=AF=﹣AO=2﹣1，

∴x的取值范圍是0＜x≤2﹣1；

探究：半圓K與矩形ABCD的邊相切，分三種情況；

①如圖5，半圓K與BC相切于點(diǎn)T，設(shè)直線KT與AD，OQ的初始位置所在的直線分別交于點(diǎn)S，O′，

則∠KSO=∠KTB=90°，

作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中，

OS==2，

在Rt△OSO′中，SO′=OStan60°=2，KO′=2﹣，

在Rt△KGO′中，∠O′=30°，

∴KG=KO′=﹣，

∴在Rt△OGK中，sinα===，

②當(dāng)半圓K與AD相切于T，如圖6，同理可得sinα====；

③當(dāng)半圓K與CD切線時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，且為切點(diǎn)，

∴α=60°，

∴sinα=sin60°=；

綜上所述sinα的值為：或或.