Question

11．如圖，直線y=mx與雙曲線y=$\frac{k}{x}$相交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），AC⊥x軸于C，連結(jié)BC．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)mx＞$\frac{k}{x}$時(shí)，x的取值范圍；
（3）在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出m的值，確定出一次函數(shù)解析式，把A坐標(biāo)代入反比例解析式求出k的值，即可確定出反比例函數(shù)解析式；
（2）由題意，找出一次函數(shù)圖象位于反比例函數(shù)圖象上方時(shí)x的范圍即可；
（3）存在，理由為：由四邊形ABDC為平行四邊形，得到AC=BD，且AC∥BD，由AC與x軸垂直，得到BD與x軸垂直，根據(jù)A坐標(biāo)確定出AC的長(zhǎng)，即為BD的長(zhǎng)，聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式求出B坐標(biāo)，即可確定出D坐標(biāo)．

解答 解：（1）把A（1，2）代入y=mx得：m=2，
則一次函數(shù)解析式是y=2x，
把A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=2，
則反比例解析式是y=$\frac{2}{x}$；
（2）根據(jù)圖象可得：-1＜x＜0或x＞1；
（3）存在，理由為：
如圖所示，四邊形ABDC為平行四邊形，
∴AC=BD，AC∥BD，
∵AC⊥x軸，
∴BD⊥x軸，
由A（1，2），得到AC=2，
∴BD=2，
聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
消去y得：2x=$\frac{2}{x}$，即x²=1，
解得：x=1或x=-1，
∵B（-1，-2），
∴D的坐標(biāo)（-1，-4），同法可得D′（-1，0），D″（3，4）．
故滿足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為（-1，-4）或（-1，0）或（3，4）

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式以及反比例函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，平行四邊形的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．