Question

已知函數(shù)y=x²+2x-1（t≤x≤t+1）
（1）若此函數(shù)的最小值為M，求M關于t的函數(shù)表達式；
（2）當t為某一正整數(shù)n時，求函數(shù)值y可以取得的所有正整數(shù)的和．

Answer 1

分析：（1）首先將拋物線y=x²+2x-1配方成y=（x+1）²-2的形式，進而可以確定對稱軸為x=-1，據(jù)此可以求出其最小值．
（2）根據(jù)上題得到的對稱軸x=-1，然后結合圖象得n²+2n-1≤y≤n²+4n+2并從中得到y(tǒng)可以取得的正整數(shù)為n²+2n-1，n²+2n，n²+2n+1，…n²+4n+2．共2n+4個，然后求得y可以取得的所有正整數(shù)的和即可．

解答：解：（1）∵y=x²+2x-1=（x+1）²-2，對稱軸為x=-1．
∴最小值為M=

(t+2)2-2．t＜-2 -2．-2≤t≤-1 (t+1)2-2．t＞-1

；

（2）由（1）對稱軸x=-1，
∴得n²+2n-1≤y≤n²+4n+2
∴y可以取得的正整數(shù)為n²+2n-1，n²+2n，n²+2n+1，…n²+4n+2．共2n+4個
∴y可以取得的所有正整數(shù)的和為

(2n+4)(2n2+6n+1)

2

=(n+2)(2n2+6n+1)
=2n³+10n²+13n+2（10分）

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，解題的關鍵是利用配方確定二次函數(shù)的對稱軸．