Question

已知△ABC中，M為BC的中點，直線m繞點A旋轉，過B、M、C分別作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F．
（1）當直線m經過B點時，如圖1，易證EM=

1

2

CF．（不需證明）
（2）當直線m不經過B點，旋轉到如圖2、圖3的位置時，線段BD、ME、CF之間有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況加以證明．

Answer 1

考點：旋轉的性質,全等三角形的判定與性質,梯形中位線定理

專題：證明題

分析：（1）利用垂直于同一直線的兩條直線平行得出ME∥CF，進而利用中位線的性質得出即可；
（2）根據題意得出圖2的結論為：ME=

1

2

（BD+CF），圖3的結論為：ME=

1

2

（CF-BD），進而利用△DBM≌△KCM（ASA），即可得出DB=CK，DM=MK即可得出答案．

解答：解：（1）如圖1，
∵ME⊥m于E，CF⊥m于F，
∴ME∥CF，
∵M為BC的中點，
∴E為BF中點，
∴ME是△BFC的中位線，
∴EM=

1

2

CF．

（2）圖2的結論為：ME=

1

2

（BD+CF），
圖3的結論為：ME=

1

2

（CF-BD）．
圖2的結論證明如下：連接DM并延長交FC的延長線于K
又∵BD⊥m，CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠DBM=∠KCM
在△DBM和△KCM中

∠DBM=∠KCM BM=CM ∠BMD=∠KMC

，
∴△DBM≌△KCM（ASA），
∴DB=CK，DM=MK
由題意知：EM=

1

2

FK，
∴ME=

1

2

（CF+CK）=

1

2

（CF+DB）    
圖3的結論證明如下：連接DM并延長交FC于K
又∵BD⊥m，CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠MBD=∠KCM
在△DBM和△KCM中

∠DBM=∠KCM BM=CM ∠BMD=∠KMC

，
∴△DBM≌△KCM（ASA）
∴DB=CK，DM=MK，
由題意知：EM=

1

2

FK，
∴ME=

1

2

（CF-CK）=

1

2

（CF-DB）．

點評：此題主要考查了旋轉的性質以及全等三角形的判定與性質等知識，得出△DBM≌△KCM（ASA）是解題關鍵．