Question

關于x的方程x²-x+1-m=0的兩個實數(shù)根x₁、x₂，滿足|x₁|+|x₂|≤5，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：一元二次方程根的分布

專題：

分析：由根的判別式得到m≥

3

4

．根據一元二次方程的根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=1-m．由已知條件列出關于m絕對值不等式，通過解不等式來求m的取值范圍．

解答：解：∵關于x的方程x²-x+1-m=0有兩個實數(shù)根，
∴△=1-4+4m≥0，
解得 m≥

3

4

．
∵關于x的方程x²-x+1-m=0的兩個實數(shù)根x₁、x₂，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=1-m，
∴x₁²+x₂²=1-2（1-m），
∴由|x₁|+|x₂|≤5，得
x₁²+x₂²+2|x₁•x₂|≤25，即1-2（1-m）+2|1-m|≤25，
整理，得
m+|1-m|-13≤0，
故

1-m≥0 m+1-m-13≤0

或

1-m＜0 m-1+m-13≤0

，
解得 m≤1或1＜m≤2．
綜上所述，m的取值范圍是

3

4

≤m≤2．
故答案是：

3

4

≤m≤2．

點評：本題考查了一元二次方程根的分布．根據一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關系以及與代數(shù)式變形相結合來求m的取值范圍．