Question

7．如圖∠MON=120°，OP平分∠MON．點(diǎn)C是OP上一點(diǎn)，A、B分別是OM、ON上的點(diǎn)，∠ACB=60°．
（1）圖①中，AC⊥OM，BC⊥ON，則OA+OB的值等于哪線段的長(zhǎng)？為什么？
（2）圖②中，仍保持∠ACB的度數(shù)不變，A、B的位置變了，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）OA+OB=OC，根據(jù)角平分線的定義得到∠AOC=∠BOC=60°，由垂直的定義得到∠OAC=∠OBC=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ACO=∠BCO=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OA=$\frac{1}{2}$OC，OB=$\frac{1}{2}$OC，即可得到結(jié)論；
（2）（1）中的結(jié)論成立，過(guò)C作CF⊥OM于F，CE⊥ON于E，得到∠CFO=∠CEO=90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠AOC=∠BOC=60°，CF=CE，求得∠FCO=∠ECO=30°，于是得到OF=$\frac{1}{2}$OC，OE=$\frac{1}{2}$OC，∠FCE=60°，推出△ACF≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=BE，等量代換得到OA+OB=OE+OF=OC．

解答 解：（1）OA+OB=OC，
∵∠MON=120°，OP平分∠MON，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵AC⊥OM，BC⊥ON，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
∴∠ACO=∠BCO=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$OC，OB=$\frac{1}{2}$OC，
∴OA+OB=0C；

（2）（1）中的結(jié)論成立，
過(guò)C作CF⊥OM于F，CE⊥ON于E，
∴∠CFO=∠CEO=90°，
∵∠MON=120°，OP平分∠MON，
∴∠AOC=∠BOC=60°，CF=CE，
∴∠FCO=∠ECO=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OC，OE=$\frac{1}{2}$OC，∠FCE=60°，
∴OE=OF，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACF=∠BCE，
在△ACF與△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠BCE}\\{CF=CE}\\{∠AFC=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCE，
∴AF=BE，
∴OA+OB=OE+OF=OC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．