Question

如圖所示，在正方形ABCD的對角線上取點(diǎn)E，使得∠BAE=，連結(jié)AE，CE．延長CE到F，連結(jié)BF，使得BC=BF．若AB=1，則下列結(jié)論：①AE=CE； ②F到BC的距離為；③BE+EC=EF；④；⑤．其中正確的個數(shù)是

A．2個             B．3個              C．4個              D．5個

 

Answer 1

【答案】

B

【解析】

試題分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)推出AB=BC，∠ABD=∠CBD=45，證△ABE≌△CBE，即可判斷①；過F作FH⊥BC于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出FH；過A作AM⊥BD交于M，根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)三角形的面積公式即可求出高AM，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．

∵正方形ABCD，

∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，

∵BE=BE，

∴△ABE≌△CBE，

∴AE=CE，∴①正確；

過F作FH⊥BC于H，

∵BF=BC=1，

∴∠BFC=∠FCB=15°，

∴FH=BF=，∴②錯誤；

∵Rt△BHF中，F(xiàn)H=，BF=1，

∵BD是正方形ABCD的對角線，

∴AE=CE，

在EF上取一點(diǎn)N，使BN=BE，

又∠NBE=∠EBC+∠ECB=45°+15°=60°，

∴△NBE為等邊三角形，

∴∠ENB=60°，又∠NFB=15°，

∴∠NBF=45°，又∠EBC=45°，

∴∠NBF=∠EBC，又BF=BC，∠NFB=∠ECB=15°，

可證△FBN≌△CBE，

∴NF=EC，

故BE+EC=EN+NF=EF，

∴③正確；

過A作AM⊥BD交于M，

根據(jù)勾股定理求出BD=，

由面積公式得：AD×AB=BD×AM，解得

∵∠ADB=45°，∠AED=60°，

∴，

∴，∴④錯誤；

故選B.

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)

點(diǎn)評：本題知識點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，是中考常見題，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵．