如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,點P、Q、R分別在三邊AB、BC、CA上,PQ=QR=RP=x,CP交RQ于點K,兩條直線RQ與AB相交于點T.若PQ∥AC,試求①x、②
RKKQ
及③BT.
精英家教網(wǎng)
分析:①過點P作PH⊥AC于H,根據(jù)PQ=QR=RP得出∠RPQ=60°,從而求出HP=
3
2
x=CQ,再利用△PQB∽△ACB得出
PQ
AC
=
CQ
BC
=
x
1
=
1-
3
2
x
1
此關(guān)系式,解得x即可.
②根據(jù)PQ∥AC,求證△RKC∽△PKQ,利用特殊三角函數(shù)值求出HR=
1
2
RP=
1
2
PQ=RC,即可.
③先根據(jù)勾股定理分別求出AB,BP的長,再利用△PQT∽△ART,得出
PQ
AR
=
PT
AT
,解關(guān)于BT的方程即可.
解答:解:①精英家教網(wǎng)
過點P作PH⊥AC于H,
又∵PQ=QR=RP,
∴∠RPQ=60°,
∴∠RPH=30°,
∴HP=
PR2-HR2
=
3
2
x=CQ,
∵PQ∥AC,
∴△PQB∽△ACB,
PQ
AC
=
CQ
BC
=
x
1
=
1-
3
2
x
1
,
解得:x=4-2
3
;

②∵PQ∥AC,
∴△RKC∽△PKQ,
PK
KQ
=
RC
PQ

∵∠RPH=30°,
∴HR=
1
2
RP=
1
2
PQ=RC,
PK
KQ
=
1
2
;

③∵PQ∥AC,∠ACB=90°,
∴PH∥BC,∠CAB=∠ABC=45°,
∴BP=
PQ2+QB2
=
2
x=
2
×(4-2
3
),
∵AC=BC=1,
∴AB=
2
,
∵四邊形HPQR是矩形,
∴HP=CQ,
∴AR=AH+HR=HP+HR=
3
2
x+
1
2
x,
將x=4-2
3
代入上式得,AR=
3
-1,
,∵PQ∥AC,
∴△PQT∽△ART,
PQ
AR
=
PT
AT
=
4-2
3
AT
=
BP+BT
AB+BT
,
解得BT=
6
-
2
點評:此題涉及到了相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等邊三角形等多個知識點,綜合性強,尤其是
PQ
AR
=
PT
AT
=
4-2
3
AT
=
BP+BT
AB+BT
這一步解方程,難度很大,是一道難題.
練習冊系列答案
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20、如圖,在△ABC中,∠BAC=45°,現(xiàn)將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°至△ADE的位置,使AC⊥DE,則∠B=
75
度.

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( �。�
A、
1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

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2、如圖,在△ABC中,DE∥BC,那么圖中與∠1相等的角是( �。�

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度.

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16
cm.

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