Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，直線y=x+4經(jīng)過A、C兩點，
（1）求拋物線解析式；
（2）在直線AC上方的拋物線上有一動點P，
①如圖，當(dāng)點P運動到某位置時，以AP、AO為鄰邊的平行四邊形第四個頂點恰好也在拋物線上，求出此時點P的坐標(biāo)；
②以P為圓心的⊙P始終與直線AC切于點Q，當(dāng)⊙P面積最大時，求P點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由直線的解析式y(tǒng)=x+4易求點A和點C的坐標(biāo)，把A和C的坐標(biāo)分別代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c求出b和c的值即可得到拋物線的解析式；
（2）①若以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點Q恰好也在拋物線上，則PQ∥AO，再根據(jù)拋物線的對稱軸可求出點P的橫坐標(biāo)，由（1）中的拋物線解析式，進而可求出其縱坐標(biāo)，問題得解；
②經(jīng)過點P的直線與AC平行，且該直線與拋物線只有一個交點P時，此時⊙P面積最大．

解答 解：（1）∵直線y=x+4經(jīng)過A，C兩點，
∴A點坐標(biāo)是（-4，0），點C坐標(biāo)是（0，4），
又∵拋物線過A，C兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×（-4）^{2}-4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4．

（2）①如圖1，∵y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4，
∴拋物線的對稱軸是直線x=-1． 
∵以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點Q恰好也在拋物線上，
∴PQ∥AO，PQ=AO=4．
∵P，Q都在拋物線上，
∴P，Q關(guān)于直線x=-1對稱，
∴P點的橫坐標(biāo)是-3，
∴當(dāng)x=-3時，y=-$\frac{1}{2}$×（-3）²-（-3）+4=$\frac{5}{2}$，
∴P點的坐標(biāo)是（-3，$\frac{5}{2}$）；
②如圖2，當(dāng)直線PD與拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4只有一個交點時，⊙P面積最大，此時PD∥AC．
故設(shè)直線PD的解析式為：y=x+b（b＞4）．
則x+b=-$\frac{1}{2}$x²-x+4，即$\frac{1}{2}$x²+2x-4+b=0，
△=4-4×$\frac{1}{2}$×（-4+b）=0，
解得b=6，
則直線PD的解析式為y=x+6．
所以$\left\{\begin{array}{l}{y=x+6}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-x+4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
所以點P的坐標(biāo)是（-2，4）．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題，涉及到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，直線與圓的關(guān)系以及解一元二次方程等知識點，解題時注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．