Question

 

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中, 正方形OABC的邊長為2cm, 點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上, 拋物線y=a+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B,最低點(diǎn)為M，且＝

(1)求此拋物線的解析式.，并說明這條拋物線是由拋物線y=a 怎樣平移得到的。

(2)如果點(diǎn)P由點(diǎn)A開始沿著射線AB以2cm/s的速度移動, 同時點(diǎn)Q由點(diǎn)B開始沿BC邊以1cm/s的速度向點(diǎn)C移動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時運(yùn)動結(jié)束.

①在運(yùn)動過程中，P、Q兩點(diǎn)間的距離是否存在最小值，如果存在，請求出它的最小值。

②當(dāng)PQ取得最小值時, 在拋物線上是否存在點(diǎn)R, 使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是梯形? 如果存在, 求出R點(diǎn)的坐標(biāo), 如果不存在, 請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）此拋物線由拋物線向右平移一個單位，再向下平移17/6個單位得到

（2）

①

②存在一點(diǎn)R1(2.4, －1.2)， R2(1.6, ) 滿足題意

【解析】(1)求出頂點(diǎn)M（1，）   ………………………（1分）

     求出拋物線的解析式為:   ……… (2分)

此拋物線由拋物線向右平移一個單位，再向下平移17/6個單位得到。（3分）

    (2)①由圖象知: PB=, BQ= t

∴PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2      (0≤t≤2)…………………(4分)

=5t2－8t+4 =5(t)2 + (0≤t≤2)

∵5>0，且0≤t≤2∴當(dāng)t=時, PQ2取得最小值………………………(5分)

此時，PQ=      (6分)       

或分成兩種情況討論：0≤t≤1或1<t≤2，若不分情況PB長寫成2-2t，扣一分。，

 ②假設(shè)存在點(diǎn)R, 可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點(diǎn)的梯形.……   ……(7分)

這時PB=2=0.4,  BQ=0.8,  P(1.6, －2),  Q(2, －1.2)

R的橫坐標(biāo)為1.6, 把x=1.6代入, 得y=,

∴這時存在R(1.6, )滿足題意             (9分)

C：假設(shè)BR∥PQ, 則:

直線PQ解析式：y=2x-5.2

直線BR解析式：y=2x-6

 

得到：或

經(jīng)檢驗(yàn)：上述兩解均不合題意，舍去（11分）

綜上所述, 存在一點(diǎn)R1(2.4, －1.2)， R2(1.6, ) 滿足題意. ……（12分)