Question

如圖所示，△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的角平分線(xiàn)于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線(xiàn)于點(diǎn)F．

(1)試說(shuō)明EO=FO；

(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因?yàn)?/FONT>CE平分∠ACB， 所以∠2=∠3． 又因?yàn)?/FONT>MN∥BC，所以∠1=∠3，所以∠1=∠2，所以OE=OC． 同理∠4=∠5，所以OC=OF，所以OE=OF． (2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，如圖所示證明如下：因?yàn)闊o(wú)論O在AC上怎樣運(yùn)動(dòng)，都有OF=OE，所以四邊形AECF是平行四邊形(對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形)． 因?yàn)?/FONT>CE是∠ACB的平分線(xiàn)，CF是∠ACD的平分線(xiàn)， 所以，． 因?yàn)椤?/FONT>ACB＋∠ACD=180°， 所以∠1＋∠2=90°， 所以四邊形AECF是矩形．

提示：

(1)因?yàn)?/FONT>MN∥BC，CE、CF分別是角平分線(xiàn)，所以∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠FCO，所以OE=OC，FO=CO，所以EO=FO． (2)由(1)知EO=FO，當(dāng)AO=CO時(shí)四邊形AECF是平行四邊形，由CE、CF分別平分∠ACB、∠ACD得∠ECF=90°，所以四邊形AECF是矩形．