【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,△ACB和△DCE均為等邊三角形,點(diǎn)A,D,E在同一直線上,連接BE.
填空:
①∠AEB的度數(shù)為___________;
②線段AD,BE之間的數(shù)量關(guān)系為___________.
(2)拓展探究
如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,點(diǎn)A,D,E在同一直線上,CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE,請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(3)解決問題
如圖3,在正方形ABCD中,CD=,若點(diǎn)P滿足PD=1,且∠BPD=90°,請直接寫出點(diǎn)A到BP的距離.
【答案】(1)①60°;②AD=BE;(2)∠AEB=90°,AE=BE+2CM,理由見解析;(3)或.
【解析】
試題分析:(1)①如圖1,∵△ACB和△DCE均為等邊三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,,∴△ACD≌△BCE(SAS).∴∠ADC=∠BEC.∵△DCE為等邊三角形,∴∠CDE=∠CED=60°.∵點(diǎn)A,D,E在同一直線上,∴∠ADC=120°.∴∠BEC=120°.∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°.故答案為:60°.
②∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE.故答案為:AD=BE.
(2)∠AEB=90°,AE=BE+2CM.理由:如圖2,∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°.∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,,∴△ACD≌△BCE(SAS).∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.∵△DCE為等腰直角三角形,∴∠CDE=∠CED=45°.∵點(diǎn)A,D,E在同一直線上,∴∠ADC=135°.∴∠BEC=135°.∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°.∵CD=CE,CM⊥DE,∴DM=ME.∵∠DCE=90°,∴DM=ME=CM.∴AE=AD+DE=BE+2CM.
(3)點(diǎn)A到BP的距離為或.理由如下:∵PD=1,∴點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心,1為半徑的圓上.∵∠BPD=90°,∴點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上.∴點(diǎn)P是這兩圓的交點(diǎn).
①當(dāng)點(diǎn)P在如圖3①所示位置時(shí),連接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足為H,過點(diǎn)A作AE⊥AP,交BP于點(diǎn)E,如圖3①.∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ADB=45°.AB=AD=DC=BC=,∠BAD=90°.∴BD=2.∵DP=1,∴BP=.∵∠BPD=∠BAD=90°,∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上,∴∠APB=∠ADB=45°.∴△PAE是等腰直角三角形.又∵△BAD是等腰直角三角形,點(diǎn)B、E、P共線,AH⊥BP,∴由(2)中的結(jié)論可得:BP=2AH+PD.∴=2AH+1.∴AH=.
②當(dāng)點(diǎn)P在如圖3②所示位置時(shí),連接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足為H,過點(diǎn)A作AE⊥AP,交PB的延長線于點(diǎn)E,如圖3②.同理可得:BP=2AH﹣PD.∴=2AH﹣1.∴AH=.綜上所述:點(diǎn)A到BP的距離為或.
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A. y=3(x+2)2+4 B. y=3(x-2)2+4
C. y=3(x-2)2-4 D. y=3(x+2)2-4
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A. 點(diǎn)C B. 點(diǎn)D C. 點(diǎn)A D. 點(diǎn)B
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且∠ABM=∠BAM,連接BM,MN,BN.
(1)求證:BM=MN;
(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的長.
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A. 10 B. ±10 C. 5 D. ±5
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