Question

如圖所示，已知拋物線y = ax² + bx + c(a≠0)的頂點為 Q(2，- 1)，且與y軸交于點 C(0，3)，與x軸交于A、B兩點(點A在點B的右側(cè))，連接AC，點P從點C出發(fā)沿拋物線向點A運動(點P與點A不重合)，過點P作PD∥y軸，交AC于點 D。
(1)求該拋物線的解析式。
(2)連接OP，設點P的坐標為 (x，y)，點P從C 向A運動的過程中，由線段CO、OP、PA、AC 圍成的四邊形的面積為 S，求S關于P點橫坐標x的函數(shù)解析式，并求出S的最大值。
(3)在點P從C向 A運動的過程中，若∠DAP = 90°，直接寫出符合條件的點 P的坐標。

Answer 1

解：(1)∵ 拋物線y= ax² + bx + c(a≠0)的頂點為 (2，-1)，
∴ 設該拋物線的解析式為y= a(x - 2)² -1，    
∵ 拋物線與y軸交于點 C(0，3)，
∴ 3 = a(0-2)²-1，
∴ a =1， 
∴ 該拋物線的解析式為 y = (x -2)²-1，
即 y= x² - 4x +3。   
( 2 ) 由 x² - 4x + 3 = 0 ，
得 x₁= 1 ， x₂ = 3，
∵ A在B的右側(cè)，
∴A(3，0)，B(1，0)，    
∴ S_△AOC =3×3 ÷2 =，S_△AOP =    
∴ 當點P從C運動到B時，即0≤x≤1時，
S= S_△AOC - S_△AOP = ；
當點P從B運動到A時，即 1 <x<3 時，
S= S_△AOC + S_△AOP ，
∴ S=     
當點P與點 Q重合時，S最大，最大值為 6。   
(3)符合條件的點 P的坐標為(2，-1)。