【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸的一個交點(diǎn)為A(3,0).與y軸的交點(diǎn)為B(0,3),其頂點(diǎn)為C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)將△AOB沿x軸向右平移m個長度單位(0<m<3)后得到另一個△FPE,點(diǎn)A、O、B的像分別為點(diǎn)F、P、E.
①如圖①,當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上時,求m的值.
②設(shè)所得的三角形△FPE與△ABC重疊部分的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)①m=;②當(dāng)0<m≤
時,S=﹣
m2+3m;當(dāng)
<m<3時,S=
m2﹣3m+
.
【解析】
(1)根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.
(2)把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入直線AC的解析式來解答;
(3)平移后的三角形記為△PEF.根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AB的解析式為y=-x+3.易得AB平移m個單位所得直線EF的解析式為y=-x+3+m.連結(jié)BE,直線BE交AC于G,則G(,3).在△AOB沿x軸向右平移的過程中.根據(jù)圖象,易知重疊部分面積有兩種情況:①當(dāng)0<m≤
時;②當(dāng)
<m<3時;討論可得用m的代數(shù)式表示S.
(1)由題意可知,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸的一個交點(diǎn)為A(3,0),與y軸的交點(diǎn)為B(0,3),則,解得
.
故拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3.
(2)由題意知,E(m,3).
由(1)得:y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,故C(1,4).
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t(k≠0).
把A(3,0),C(1,4)代入,得.
解得.
故直線AC的解析式為:y=﹣2x+6.
把E(m,3)代入知,﹣2m+6=3
解得m=;
(3)平移后的三角形記為△PEF.
設(shè)直線AB的解析式為y=k′x+d,則,
解得.
則直線AB的解析式為y=﹣x+3.
△AOB沿x軸向右平移m個單位長度(0<m<3)得到△PEF,
易得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m.
由(2)知,直線AC的解析式為y=﹣2x+6.
連結(jié)BE,直線BE交AC于G,則G(,3).
在△AOB沿x軸向右平移的過程中.
①當(dāng)0<m≤時,如圖1所示.
設(shè)PE交AB于K,EF交AC于M.
則BE=EK=m,PK=PA=3﹣m,
聯(lián)立,解得
,
即點(diǎn)M(3﹣m,2m).
故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM
=PE2﹣
PK2﹣
Fh
=﹣
(3﹣m)2﹣
m2m
=﹣m2+3m.
②當(dāng)<m<3時,如圖2所示.
設(shè)PE交AB于K,交AC于H.
因?yàn)?/span>BE=m,所以PK=PA=3﹣m,
又因?yàn)橹本AC的解析式為y=﹣2x+6,
所以當(dāng)x=m時,得y=6﹣2m,
所以點(diǎn)H(m,6﹣2m).
故S=S△PAH﹣S△PAK
=PAPH﹣
PA2
=﹣(3﹣m)(6﹣2m)﹣
(3﹣m)2
=m2﹣3m+
.
綜上所述,當(dāng)0<m≤時,S=﹣
m2+3m;當(dāng)
<m<3時,S=
m2﹣3m+
.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,D是BC邊上的一點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),過A點(diǎn)作BC的平行線,交CE的延長線于點(diǎn)F,且AF=BD,連接BF.
(1)求證:BD=CD;(2)如果AB=AC,試判斷四邊形AFBD的形狀,并證明你的結(jié)論.
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【題目】在﹣9,﹣6,﹣3,﹣1,2,3,6,8,11這九個數(shù)中,任取一個作為a值,能夠使關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+9=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根的概率是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,BC=3CD,分別過點(diǎn)B,D作AD,AB的平行線,并交于點(diǎn)E,且ED交AC于點(diǎn)F,AD=3DF.
(1)求證:△CFD∽△CAB;
(2)求證:四邊形ABED為菱形;
(3)若DF=,BC=9,求四邊形ABED的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作EF∥BC,EF與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F,則△DOF的面積與△BOA的面積之比為( 。
A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 1:16
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公益機(jī)構(gòu)為了解市民使用“手機(jī)閱讀”的情況,對部分市民進(jìn)行了隨機(jī)問卷調(diào)查(問卷調(diào)查表如左圖所示),并將調(diào)查結(jié)果繪制成兩副統(tǒng)計(jì)圖(均不完整)
您如何看待手機(jī)閱讀問卷調(diào)查表 您好!請?jiān)诒砀裰羞x擇一項(xiàng)您最認(rèn)同的觀點(diǎn),在其后面空格內(nèi)打“√”,非常感謝您的配合. | ||
選項(xiàng) | 觀點(diǎn) | 您的選擇 |
A | 更新及時 | □ |
B | 閱讀成本低 | □ |
C | 不利于人際交往 | □ |
D | 內(nèi)容豐富 | □ |
E | 其他 | □ |
(1)本次接受調(diào)查的總?cè)藬?shù)是______人.
(2)請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,表示觀點(diǎn)B的扇形的圓心角度數(shù)為______度.
(4)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,請估計(jì)在2萬名市民中,認(rèn)為手機(jī)閱讀“內(nèi)容豐富“的大約有______人.
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根,則下面說法正確的是( 。
A. 1一定不是方程x2+bx+a=0的根B. 0一定不是方程x2+bx+a=0的根
C. ﹣1可能是方程x2+bx+a=0的根D. 1和﹣1都是方程x2+bx+a=0的根
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【題目】如圖,點(diǎn)P是矩形ABCD的對角線AC上的一點(diǎn)(異于兩個端點(diǎn)),AB=2BC=2,若BP的垂直平分線EF經(jīng)過該矩形的一個頂點(diǎn),則BP的垂直平分線EF與對角線AC的夾角(銳角)的正切值為_____.
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【題目】如圖1,直線l:y=x+m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(0,﹣1),拋物線y=
x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B,與直線l的另一個交點(diǎn)為C(4,n).
(1)求n的值和拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D在拋物線上,DE∥y軸交直線l于點(diǎn)E,點(diǎn)F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;
(3)將△AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到△A1O1B1,點(diǎn)A、O、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、B1.若△A1O1B1的兩個頂點(diǎn)恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“落點(diǎn)”,請直接寫出“落點(diǎn)”的個數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).
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