Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，∠ABC=45°，△DCE是等腰直角三角形，∠DCE=90°．
（1）求證：△ACB是等腰直角三角形；
（2）若點(diǎn)M是線段BE的中點(diǎn)，N是線段AD的中點(diǎn)．求證：MN=

2

OM．

Answer 1

分析：（1）由AB為圓O的直徑，得到∠ACB為直角，再由∠ABC=45°，得到△ABC為等腰直角三角形；
（2）連接ON、AE、BD，并延長BD交AE于點(diǎn)F，先證明△BCD≌△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，則∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位線的性質(zhì)得到ON=

1

2

BD，OM=

1

2

AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM為等腰直角三角形，即可得到結(jié)論．

解答：證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∴△ACB是等腰直角三角形；

（2）連接ON、AE、BD，并延長BD交AE于點(diǎn)F，
∵∠CAB=∠ABC，
∴AC=BC，
∵等腰直角三角形DCE，∠DCE=90°，
∴CD=CE，∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中

BC=AC ∠BCD=∠ACE CD=CE

∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD，∠DBC=∠EAC，
∴∠ABF+∠BAE=45°-∠DBC+45°+∠EAC=90°，
∵O、N分別是線段AB、AD的中點(diǎn)，
A0=

1

2

AB，AN=

1

2

AD，
∴ON∥BD，ON=

1

2

BD
同理可證，OM∥AE，OM=AE，
∴ON=OM，∠AON=∠ABF，∠BOM=∠BAE，
∴∠AON+∠BOM=90°，
∴∠MON=90°，
∴MN=

2

OM．

點(diǎn)評：本題考查了直徑所對的圓周角為直角和三角形中位線的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的探究題．