Question

2．如圖，矩形ACBE中，AC=6，BC=8，D是AB上一動點，當AD=$\frac{11}{5}$時，∠BDC=2∠BAE．

Answer 1

分析 由矩形ACBE中，AC=6，BC=8，可求得AB的長，然后過點D作DF平分∠BDC交BC于F，過F作FG⊥AB于G，易得Rt△BFG∽Rt△BAC，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得CD的長，又由△CDF∽△CBD，求得答案．

解答 解：∵矩形ACBE中，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
過點D作DF平分∠BDC交BC于F，過F作FG⊥AB于G，
∵∠BDC=2∠BAE=∠ABF，
∴∠FDB=∠FBD，
∴FD=FB，
∵∠BGF=∠ACB=90°，∠FBG=∠ABC，
∴Rt△BFG∽Rt△BAC，
∴FG：BG：BF=AC：BC：AB=3：4：5，
設(shè)FG=3x，則BG=4x，BF=5x，
∴DG=BG=4x，DF=BF=5x，
∴BD=2BG=8x，
∵∠CDF=$\frac{1}{2}$∠BDC=∠CBD，∠DCB為公共角，
∴△CDF∽△CBD，
∴CD：BC=DF：BD=5：8，
∴CD=$\frac{5}{8}$BC=5，
∵CD：CF=CB：CD，
∴CD²=CF•BC，
∴CF=$\frac{C{D}^{2}}{BC}$=$\frac{25}{8}$，
∴BF=8-$\frac{25}{8}$=$\frac{39}{8}$，
解得：x=$\frac{39}{40}$，
∴BD=8x=$\frac{39}{5}$．
∴AD=10-BD=$\frac{11}{5}$．
故答案為：$\frac{11}{5}$．

點評 此題考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．