Question

已知y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=（a-1）x²-2ax+a+2．
（1）上述函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)此函數(shù)是二次函數(shù)時(shí)，設(shè)頂點(diǎn)為（m，n），求n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）y關(guān)于x的函數(shù)是二次函數(shù)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，頂點(diǎn)為（m，n），

1

m

+

1

n

=3，求值a的．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)為一次函數(shù)，二次函數(shù)兩種情況，分別求出函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式用a表示頂點(diǎn)坐標(biāo)，再消去a，得出n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍，再用a表示m、n，代入

1

m

+

1

n

=3中求a的值．

解答：解：（1）當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，a-1=0，即a=1，函數(shù)式為y=-2x+3，與x軸的交點(diǎn)為（

3

2

，0）；
當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，a-1≠0，即a≠1，
函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則△=（-2a）²-4（a-1）（a+2）=0，
解得a=2，函數(shù)式為y=x²-4x+4，當(dāng)y=0時(shí)，x=2，
即與x軸的交點(diǎn)為（2，0）；

（2）由y=（a-1）x²-2ax+a+2可知，拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為：m=-

-2a

2(a-1)

=

a

a-1

，
代入函數(shù)解析式得頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為n=

a-2

a-1

，則n+m=

a-2

a-1

+

a

a-1

=2，
故n=-m+2； 
      
（3）∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴

a-1≠0 (-2a)2-4(a-1)(a+2)＞0

，
解得a＜2且a≠1，
將m=

a

a-1

，n=

a-2

a-1

代入

1

m

+

1

n

=3中，
得

a-1

a

+

a-1

a-2

=3，整理得a²-2a-2=0，
解得a=1±

3

，
∵a＜2且a≠1，
∴a=1-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)的性質(zhì)．關(guān)鍵是掌握拋物線與x軸有交點(diǎn)的條件，頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法．