Question

【題目】定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角和等于另兩個(gè)內(nèi)角和的一半的四邊形稱為半四邊形，這兩個(gè)角的夾邊稱為對(duì)半線.

（1）如圖1，在對(duì)半四邊形中，，求與的度數(shù)之和；

（2）如圖2，為銳角的外心，過(guò)點(diǎn)的直線交，于點(diǎn)，，，求證：四邊形是對(duì)半四邊形；

（3）如圖3，在中，，分別是，上一點(diǎn)，，，為的中點(diǎn)，，當(dāng)為對(duì)半四邊形的對(duì)半線時(shí)，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）5.25.

【解析】

（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和與對(duì)半四邊形的定義即可求解；

（2）根據(jù)三角形外心的性質(zhì)得，得到，從而求出=60°，再得到，根據(jù)對(duì)半四邊形的定義即可證明；

（3）先根據(jù)為對(duì)半四邊形的對(duì)半線得到，故可證明為等邊三角形，再根據(jù)一線三等角得到，故，列出比例式即可求出AD，故可求解AC的長(zhǎng).

（1）∵四邊形內(nèi)角和為

∴，

∵

∴=

則，

∴

（2）連結(jié)，由三角形外心的性質(zhì)可得，

所以，，

所以，

則

在四邊形中，，則另兩個(gè)內(nèi)角之和為，

所以四邊形為對(duì)半四邊形；

（3）若為對(duì)半線，則，

∴

所以為等邊三角形

∵

∴

又

∴

∵

∴，

∴

∵F為DE中點(diǎn)，

故

∴

∴