Question

已知關(guān)于x的方程x²-（k+2）x+2k=0．
①小明同學(xué)說(shuō)：無(wú)論k取何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根，你認(rèn)為他說(shuō)的有道理嗎？
②若等腰三角形的一邊a=1，另兩邊b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)和面積．

Answer 1

分析：（1）計(jì)算方程的根的判別式即可說(shuō)明其根的情況；
（2）已知a=1，則a可能是底，也可能是腰，分兩種情況求得b，c的值后，再求出△ABC的周長(zhǎng)．注意兩種情況都要用三角形三邊關(guān)系定理進(jìn)行檢驗(yàn)．

解答：解：（1）∵△=（k+2）²-4×1×2k=k²+4k+4-8k=k²-4k+4=（k-2）²≥0，
∴方程無(wú)論k取何值，總有實(shí)數(shù)根，
∴小明同學(xué)的說(shuō)法合理；
（2）①當(dāng)b=c時(shí)，則△=0，
即（k-2）²=0，
∴k=2，
方程可化為x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，
而b=c=2，
∴C_△ABC=5，S_△ABC=

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；

②當(dāng)b=a=1，
∵x²-（k+2）x+2k=0．
∴（x-2）（x-k）=0，
∴x=2或x=k，
∵另兩邊b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，
∴k=1，
∴c=2，
∵a+b=c，
∴不滿足三角形三邊的關(guān)系，舍去；
綜上所述，△ABC的周長(zhǎng)為5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程總有實(shí)數(shù)根應(yīng)根據(jù)判別式來(lái)做，兩根互為相反數(shù)應(yīng)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系做，等腰三角形的周長(zhǎng)應(yīng)注意兩種情況，以及兩種情況的取舍．