Question

問題解決：
如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．
（1）如圖2，固定△ABC，將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，設(shè)△BDC的面積為S₁，△AEC的面積為S₂，那么S₁與S₂的數(shù)量關(guān)系是

 

；

（2）當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中S₁與S₂的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想．
（3）如圖4，∠ABC=60°，點(diǎn)D在其角平分線上，BD=CD=6，DE∥AB交BC于點(diǎn)E，若點(diǎn)F在射線BA上，并且S_△DCF=S_△BDE，請直接寫出相應(yīng)的BF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）相等，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=

1

2

AB，然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；
（3）過點(diǎn)D作DF₁∥BE，求出四邊形BEDF₁是菱形，根據(jù)菱形的對邊相等可得BE=DF₁，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn)F₁為所求的點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF₂⊥BD，求出∠F₁DF₂=60°，從而得到△DF₁F₂是等邊三角形，然后求出DF₁=DF₂，再求出∠CDF₁=∠CDF₂，利用“邊角邊”證明△CDF₁和△CDF₂全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點(diǎn)F₂也是所求的點(diǎn)，然后在等腰△BDE中求出BE的長，即可得解．

解答：解：（1）∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=

1

2

AB，
∴BD=AD=AC，
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S₁=S₂；
故答案為：相等；
（2）如圖，∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
在△ACN和△DCM中，

∠ACN=∠DCM ∠CMD=∠N=90° AC=CD

，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S₁=S₂；

（3）如圖，過點(diǎn)D作DF₁∥BE，易求四邊形BEDF₁是菱形，
所以BE=DF₁，且BE、DF₁上的高相等，
此時(shí)S_△DCF=S_△BDE，
過點(diǎn)D作DF₂⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴∠F₁DF₂=∠ABC=60°，
∴△DF₁F₂是等邊三角形，
∴DF₁=DF₂，
∵BD=CD，∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，
∴∠DBC=∠DCB=

1

2

×60°=30°，
∴∠CDF₁=180°-30°=150°，
∠CDF₂=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF₁=∠CDF₂，
在△CDF₁和△CDF₂中，

DF1=DF2 ∠CDF1=∠CDF2 CD=CD

，
∴△CDF₁≌△CDF₂（SAS），
∴點(diǎn)F₂也是所求的點(diǎn)，
∵∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=

1

2

×60°=30°，
又∵BD=6，
∴BE=

1

2

×6÷cos30°=3÷

3

2

=2

3

，
∴BF₁=2

3

，BF₂=BF₁+F₁F₂=4

3

，
故BF的長為2

3

或4

3

．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵，（3）要注意符合條件的點(diǎn)F有兩個(gè)．