Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線AB：y=-x-1與x軸交于點A，與y軸交于點B．點C為AB延長線上一點且BC=AB，拋物線y=ax²+bx-3過點A、點C．
（1）求點A、B、C的坐標．
（2）求拋物線的解析式及頂點坐標．
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點D，使得DA=DC？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直線AB的解析式可以直接求出點A點B的坐標，再過點C作x軸的垂線，利用三角形相似可以求出C點的坐標．
（2）利用拋物線過A、C兩點，代入解析式求出a、b的值就求出了解析式，再將解析式化為頂點式就求出了頂點坐標．
（3）由題意可知點D在AC地垂直平分線與對稱軸的交點上，點B是AC的中點，過點B作BE⊥AC交x軸于點E，利用三角形相似可以求出E點的坐標，再求出BE的解析式，最后把對稱軸代入BC的解析式就可以求出交點坐標D．
解答：解：（1）令y=0，則0=-x-1，得x=-2
∴A（-2，0）
令x=0，則y=-×0-1，得y=-1
∴B（0，-1）
過點C作CF⊥x軸于F，CF∥y軸
∵BC=AB
∴OF=OA=2，CF=2OB=2
∴C（2，-2）；

（2）∵A（-2，0），C（2，-2）在拋物線上
∴，解得
∴拋物線的解析式為：y=
∴y=
∴拋物線的頂點坐標為（，-）；

（3）存在
理由如下：
∵D點在拋物線的對稱軸上，且DA=DC
∴D點為對稱軸與線段AC的垂直平分線的交點
設線段AC的垂直平分線交x軸于E，則有△BOE∽△AOB
∴，得OE=
∴E（，0）
設直線BE的解析式為：y=kx+b，則有
得
∴直線BE的解析式為：y=2x-1
把x=代入y=2x-1得y=0
D（，0）．
點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了求函數(shù)的解析式與坐標軸的交點坐標，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的運用，垂直平分線的性質(zhì)等多個知識點．