Question

如圖，已知四邊形ABFC為菱形，點 D、A、E在直線l上，∠BDA=∠BAC=∠CEA．
（1）求證：△ABD≌△CAE；
（2）若∠FBA=60°，連接DF、EF，判斷△DEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：

分析：（1）利用菱形的性質(zhì)得出AB=AC，進而得出∠2=∠3，即可利用AAS證明△ABD≌△CAE；
（2）易證△ABF與△ACF均為等邊三角形，然后證明△FBD≌△FAE，則DF=EF，∠BFD=∠AFE，從而求得∠DFE的度數(shù)，即可證得：△DEF是等邊三角形．

解答：（1）證明：∵四邊形ABFC為菱形，
∴AB=AC．
∵∠BDA=∠BAC=∠CEA，
又∵∠2+∠1=180°-∠BDA，∠3+∠1=180°-∠BAC，
∴∠2=∠3．
在△ABD和△CAE中，

∠2=∠3 ∠BDA=∠CEA AB=AC

∴△ABD≌△CAE（AAS）；

（2）答：△DEF是等邊三角形．
解：連結(jié)AF，
∵四邊形ABFC為菱形，∠FBA=60°，
∴△ABF與△ACF均為等邊三角形，
∴BF=AF，∠FBA=∠FAC=60°=∠BFA．
∵∠2=∠3，
∴∠FBA+∠2=∠FAC+∠3，即∠FBD=∠FAE，
∵△ABD≌△CAE，
∴BD=AE．
在△FBD和△FAE中，

BD=AE ∠FBD=∠FAE BF=AF

，
∴△FBD≌△FAE，
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．
∵∠BFA=∠BFD+∠DFA=60°，
∴∠AFE+∠DFA=60°，即∠DFE=60°．
∴△DEF是等邊三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，正確作出輔助線是關(guān)鍵．