Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù) y＝ax2+x+c 的圖象與 y 軸交于點(diǎn) A（0，4），

與 x 軸交于點(diǎn) B、C，點(diǎn) C 坐標(biāo)為（8，0），連接 AB、AC．

（1）請(qǐng)直接寫出二次函數(shù) y＝ax2+x+c 的表達(dá)式；

（2）判斷△ABC 的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn) N 在 x 軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn) A、N、C 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)， 請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn) N 的坐標(biāo)；

（4）若點(diǎn) N 在線段 BC 上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn) B、C 重合），過點(diǎn) N 作 NM∥AC，交AB 于點(diǎn) M，當(dāng)△AMN 面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn) N 的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形，理由見解析；（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為（﹣8，0），（8﹣4，0），（3，0）或（8+4，0）；（4）當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先求得AB，AC，BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得△ABC為直接三角形；

（3）分別以A、C兩點(diǎn)為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，與x軸交于三個(gè)點(diǎn)，由AC的垂直平分線與x軸交于一個(gè)點(diǎn)，分別求得點(diǎn)N的坐標(biāo)即可；

（4）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），則BN＝n+2，過M點(diǎn)作MD⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例求得MD＝（n+2），然后根據(jù)S△AMN＝S△ABN﹣S△BMN得出關(guān)于n的二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)解析式求得即可.

解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），

，

解得，

∴拋物線表達(dá)式：y＝﹣x2+x+4；

（2）△ABC是直角三角形．

令 y＝0，則﹣x2+x+4＝0， 解得 x1＝8，x2＝﹣2，

∴點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（﹣2，0），

由已知可得，

在Rt△ ABO中，AB2＝BO2+AO2＝22+42＝20，

在Rt△AOC中，AC2＝AO2+CO2＝42+82＝80，

又∵BC＝OB+OC＝2+8＝10，

∴在△ABC中，AB2+AC2＝20+80＝102＝BC2，

∴△ABC 是直角三角形；

（3）∵A（0，4），C（8，0），

∴AC＝＝4，

①以A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作圓，交 x 軸于 N，此時(shí) N 的坐標(biāo)為（﹣8，0）；

②以C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作圓，交x軸于N，此時(shí)N的坐標(biāo)為（8﹣4，0）或（8+4 ，0）；

③作AC的垂直平分線，交x軸于N，此時(shí)N的坐標(biāo)為（3，0）；

綜上，若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)， 點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）；

（4）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），則BN＝n+2，過M點(diǎn)作MD⊥x軸于點(diǎn)D，

∴MD∥OA，

∴△BMD∽△BAO，

∴，

∵MN∥AC，

∴，

∴，

∵AO＝4，BC＝10，BN＝n+2，

∴MD＝（n+2），

∵S△AMN＝S△ABN﹣S△BMN，

＝BNOA﹣BNMD

＝（n+2）×4﹣×（n+2）2

＝﹣（n﹣3）2+5，

∴當(dāng)△AMN 面積最大時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．