Question

如圖，點A、B分別在x，y軸上，點D在第一象限內(nèi)，DC⊥x軸于點C，AO=CD=2，AB=DA=

5

，反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象過CD的中點E．
（1）求證：△AOB≌△DCA；
（2）求k的值；
（3）△BFG和△DCA關(guān)于某點成中心對稱，其中點F在y軸上，是判斷點G是否在反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）利用“HL”證明△AOB≌△DCA；
（2）先利用勾股定理計算出AC=1，再確定C點坐標(biāo)，然后根據(jù)點E為CD的中點可得到點E的坐標(biāo)為（3，1），則可根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求得k=3；
（3）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)得△BFG≌△DCA，所以FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，則可得到G點坐標(biāo)為（1，3），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征判斷G點是否在函數(shù)y=

3

x

的圖象上．

解答：（1）證明：∵點A、B分別在x，y軸上，點D在第一象限內(nèi)，DC⊥x軸，
∴∠AOB=∠DCA=90°，
在Rt△AOB和Rt△DCA中

AO=DC AB=DA

，
∴Rt△AOB≌Rt△DCA；

（2）解：在Rt△ACD中，CD=2，AD=

5

，
∴AC=

AD2-CD2

=1，
∴OC=OA+AC=2+1=3，
∴D點坐標(biāo)為（3，2），
∵點E為CD的中點，
∴點E的坐標(biāo)為（3，1），
∴k=3×1=3；

（3）解：點G在反比例函數(shù)的圖象上．理由如下：
∵△BFG和△DCA關(guān)于某點成中心對稱，
∴△BFG≌△DCA，
∴FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，
而OB=AC=1，
∴OF=OB+BF=1+2=3，
∴G點坐標(biāo)為（1，3），
∵1×3=3，
∴G（1，3）在反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象上．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、中心對稱的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)；會利用勾股定理進行幾何計算．