Question

在平面直角坐標系xOy中，點P（x，y）經(jīng)過變換τ得到點P′（x′，y′），該變換記作τ（x，y）=（x′，y′），其中

x′=ax+by y′=ax-by

（a，b為常數(shù)）．例如，當a=1，且b=1時，τ（-2，3）=（1，-5）．
（1）當a=1，且b=-2時，τ（0，1）=

 

；
（2）若τ（1，2）=（0，-2），則a=

 

，b=

 

；
（3）設(shè)點P（x，y）是直線y=2x上的任意一點，點P經(jīng)過變換τ得到點P′（x′，y′）．若點P與點P′重合，求a和b的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將a=1，b=-2，τ（0，1），代入

x′=ax+by y′=ax-by

，可求x′，y′的值，從而求解；
（2）將τ（1，2）=（0，-2），代入

x′=ax+by y′=ax-by

，可得關(guān)于a，b的二元一次方程組，解方程組即可求解；
（3）由點P（x，y）經(jīng)過變換τ得到的對應(yīng)點P'（x'，y'）與點P重合，可得τ（x，y）=（x，y）．根據(jù)點P（x，y）在直線y=2x上，可得關(guān)于a，b的二元一次方程組，解方程組即可求解．

解答：解：（1）當a=1，且b=-2時，x′=1×0+（-2）×1=-2，y′=1×0-（-2）×1=2，
則τ（0，1）=（-2，2）；                   

（2）∵τ（1，2）=（0，-2），
∴

a+2b=0 a-2b=-2

，
解得a=-1，b=

1

2

；                   

（3）∵點P（x，y）經(jīng)過變換τ得到的對應(yīng)點P'（x'，y'）與點P重合，
∴τ（x，y）=（x，y）．
∵點P（x，y）在直線y=2x上，
∴τ（x，2x）=（x，2x）．
∴

x=ax+2bx 2x=ax-2bx.

，
即

(1-a-2b)x=0 (2-a+2b)x=0.

∵x為任意的實數(shù)，
∴

1-a-2b=0 2-a+2b=0.

，
解得

a= 3 2 b=- 1 4 .

．
∴a=

3

2

，b=-

1

4

．
故答案為：（-2，2）；-1，

1

2

．

點評：考查了一次函數(shù)綜合題，關(guān)鍵是對題意的理解能力，具有較強的代數(shù)變換能力，要求學(xué)生熟練掌握解二元一次方程組．