Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從A向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從A→B→C方向運(yùn)動(dòng)，它們到C點(diǎn)后都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求P，Q兩點(diǎn)間距離的最大值；
（2）經(jīng)過(guò)t秒的運(yùn)動(dòng)，求△ABC被直線PQ掃過(guò)的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）P，Q兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在時(shí)間t，使得△PQC為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（≈2.24，結(jié)果保留一位小數(shù)）.

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，過(guò)Q作QE⊥AC于E，連接PQ，

∵∠C=90°，

∴QE∥BC，

∴△ABC∽△AQE，

∵AQ=2t，AP=t，

∵∠C=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∴PE=t，QE=t，

∴PQ2=QE2+PE2，

∴PQ=t，

當(dāng)Q與B重合時(shí)，PQ的值最大，

∴當(dāng)t=5時(shí)，PQ的最大值=.

（2）

如圖1，△ABC被直線PQ掃過(guò)的面積=S△AQP，

當(dāng)Q在AB邊上時(shí)，S=APQE=tt=t2，（0＜t≤5）

當(dāng)Q在BC邊上時(shí)，△ABC被直線PQ掃過(guò)的面積=S四邊形ABQP，

∴S四邊形ABQP=S△ABC﹣S△PQC=×8×6﹣（8﹣t）（16﹣2t）=﹣t2+16t﹣40，（5＜t≤8）；

∴經(jīng)過(guò)t秒的運(yùn)動(dòng)，△ABC被直線PQ掃過(guò)的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式：S=t2或S=﹣t2+16t﹣40．

（3）存在，如圖2，連接CQ，PQ，

由（1）知QE=t，CE=AC﹣AE=8﹣，PQ=t，

∴CQ====2，

①當(dāng)CQ=CP時(shí)，

即：2=8﹣t，

解得；t=，

②當(dāng)PQ=CQ時(shí)，

即；t=2，

解得：t=，t=（不合題意舍去），

③當(dāng)PQ=PC時(shí)，

即t=8﹣t，

解得：t=3﹣5≈1.7；

綜上所述：當(dāng)t=，t=，t=1.7時(shí)，△PQC為等腰三角形．

【解析】（1）如圖1，過(guò)Q作QE⊥AC于E，連接PQ，由△ABC∽△AQE，得到比例式 ， 求得PE=t ， QE=t ， 根據(jù)勾股定理得到PQ2=QE2+PE2 ， 求出PQ=t，當(dāng)Q與B重合時(shí)，PQ的值最大，于是得到當(dāng)t=5時(shí)，PQ的最大值=3；
（2）由三角形的面積公式即可求得；
（3）存在，如圖2，連接CQ，PQ，分三種情況①當(dāng)CQ=CP時(shí)，②當(dāng)PQ=CQ時(shí)，③當(dāng)PQ=PC時(shí)，列方程求解即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．