Question

如圖1，ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，O是正方形的中心，Q是邊CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)C、D重合），直線AQ與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AE交BD于點(diǎn)P．設(shè)DQ=x．

（1）填空：當(dāng)x=

2

3

時(shí)，

AP

EQ

的值為

 

；
（2）如圖2，直線EO交AB于點(diǎn)G，若BG=y，求y關(guān)于x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在第（2）小題的條件下，是否存在點(diǎn)Q，使得PG∥BC？若存在，求x的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）先根據(jù)平行線分相等成比例定理得出

AD

CE

=

DQ

QC

=

AQ

QE

，

AD

BE

=

AP

PE

，然后根據(jù)已知條件求得CE=

1

2

，進(jìn)而求得QE=

1

3

AE，AP=

2

5

AE后即可求得；
（2）過(guò)O作OM⊥AB，ON⊥BC，根據(jù)平行線分相等成比例定理得出CE=

1-x

x

，進(jìn)而求得BE=

1

x

，然后根據(jù)

GM

GB

=

OM

BE

，即可求得解析式；
（3）根據(jù)PG∥BC求得

AG

GB

=

AP

PE

=

AD

BE

，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例得出y=

1

x+1

，再根據(jù)（2）中求得的解析式解方程組，即可求得．

解答：解：（1）∵ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，
∴AD∥BE，
∴

AD

CE

=

DQ

QC

=

AQ

QE

，

AD

BE

=

AP

PE

，
∵AD=BC=DC=1，DQ=

2

3

，
∴QC=

1

3

，
∴

1

CE

=

2 3

1 3

，
∴CE=

1

2

，

AQ

QE

=

2

1

，
∴BE=

3

2

，QE=

1

3

AE，
∴

1

3 2

=

AP

PE

，即

AP

PE

=

2

3

，
∴AP=

2

5

AE，
∴

AP

EQ

=

2AE 5

1 3 AE

=

6

5

；

（2）過(guò)O作OM⊥AB，ON⊥BC，
∵O是正方形的中心，
∴OM=MB=BN=ON=

1

2

，
∵

AD

CE

=

DQ

QC

，
∴

1

CE

=

x

1-x

，
∴CE=

1-x

x

，
∴BE=BC+EC=

1

x

，
∵OM∥BE，
∴△GMO∽△GBE，
∴

GM

GB

=

OM

BE

，
即

y- 1 2

y

=

1 2

1 x

，整理得：（2-x）y=1，
∴y=

1

2-x

，
∴y關(guān)于x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

2-x

；

（3）存在；
理由：∵PG∥BC，
∴

AG

GB

=

AP

PE

=

AD

BE

，
∵AG=1-y，GB=y，AD=1，BE=

1

x

，
∴

1-y

y

=

1

1 x

，整理得：y=

1

x+1

，
解

y= 1 2-x y= 1 x+1

得x=

1

2

，
所以當(dāng)x=

1

2

時(shí)，使得PG∥BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)、平行線分相等定理的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)等，找出對(duì)應(yīng)線段之間的關(guān)系是本題的關(guān)鍵．