Question

已知如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，以兩腰AB，CD為一邊分別向兩邊作正方形ABGE和DCHF，連接EF，設(shè)線段EF的中點為M．
求證：MA=MD．

Answer 1

證明：過M作MN⊥AD于N，過F作FQ⊥MN于Q，過E作EP⊥MN于P，過D作DH⊥FQ于H，交BC于I
在△FHD與△DIC中，∠F=90°-∠FDH=∠CDI，∠FHD=∠DIC=90°，DF=DC，
∴△FHD≌△DIC，
∴FH=DI，
∴FQ=FH+HQ=DI+DN
同理可得，EP=DI+AN，
在△EPM和△FQM中，∠EPM=∠FQM=90°，∠EMP=∠FMQ，EM=FM
∴Rt△EPM≌Rt△FQM，
∴EP=FQ，
∴AN=DN，
∵M(jìn)N⊥AD，
∴MA=MD．
分析：過M作MN⊥AD于N，過F作FQ⊥MN于Q，過E作EP⊥MN于P，過D作DH⊥FQ于H，交BC于I，證△FHD≌△DIC，推出FH=DI，求出FQ=DI+DN同理EP=DI+AN，證Rt△EPM≌Rt△FQM，求出FQ=EP，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出即可．
點評：本題主要考查對梯形，全等三角形的性質(zhì)和判定，線段的垂直平分線性質(zhì)，正方形，對頂角等知識點的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．