Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，E為BC上一點，以CE為直徑作⊙O恰好經(jīng)過A、C兩點，PF⊥BC交BC于點G，交AC于點F．
（1）求證：AB是⊙O的切線．
（2）如果CF=2，CP=3，求⊙O的直徑EC．

Answer 1

【答案】分析：（1）若要證明AB是⊙O的切線，則可連接AO，再證明AO⊥AB即可．
（2）連接OP，設OG為x，在直角三角形FCG中，由CF和角ACB為30°，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半及勾股定理求出CG的長，即可表示出半徑OC和OP的長，在直角三角形CGP中利用勾股定理表示出PG的長，然后在直角三角形OPG中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，然后求出直徑即可．
解答：（1）證明：連接AO，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠ACB=30°，
∵AO=CO，
∴∠0AC=∠OCA=30°，
∴∠BAO=120°-30°=90°，
∴AB是⊙O的切線；

（2）解：連接OP，
∵PF⊥BC，
∴∠FGC=∠EGP=90°，
∵CF=2，∠FCG=30°，
∴FG=1，
∴在Rt△FGC中 CG===．
∵CP=3．
∴Rt△GPC中，PG===．
設OG=x，則OP=OC=x+，
在直角△OPG中，根據(jù)勾股定理得：
OP²=OG²+PG²，即=x²+
解得x=．
∴⊙O的直徑EC=EG+CG=2x++=3．
點評：本題考查了圓的切線的判定和相似三角形的判定既性質，常用的切線的判定方法是連接圓心和某一點再證垂直；常用的相似判三角形的判定方法有：平行線，AA，SAS，SSS；常用到的相似性質：對應角相等；對應邊的比值相等；面積比等于相似比的平方．