Question

如圖1，△ABC內(nèi)接于半徑為4cm的⊙O，AB為直徑，弧BC長為

4π

3

cm．
（1）計算∠ABC的度數(shù)；
（2）將與△ABC全等的△FED如圖2擺放，使兩個三角形的對應(yīng)邊DF與AC有一部分重疊，△FED的最長邊EF恰好經(jīng)過弧AB的中點M．求證：AF=AB．

Answer 1

考點：圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì),弧長的計算

專題：

分析：（1）連結(jié)OC，設(shè)∠BOC=n°，根據(jù)扇形的弧長公式求出n的度數(shù)；
（2）連結(jié)OM，過點F作FH⊥AB于H，構(gòu)造Rt△FAH，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)的出FH=

1

2

AF，由垂徑定理的出OM=

1

2

AB，再根據(jù)△ABC≌△FED全等得出∠A=∠EFD=30°，故EF∥AB，OM=FH=

1

2

AB，由此可得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，連結(jié)OC，設(shè)∠BOC=n°，
∵

BC

長為

4π

3

cm，⊙O的半徑為4cm，
∴

4×nπ

180

=

4π

3

，
∴n=60，即∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OBC=

180-60

2

=60°，

（2）如圖2，連結(jié)OM，過點F作FH⊥AB于H，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=180°-90°-60°=30°，
∴在Rt△FAH中，FH=

1

2

AF，
∵點M為

AB

的中點，
∴OM⊥AB且OM=

1

2

AB，
∵△ABC≌△FED全等，
∴∠A=∠EFD=30°，
∴EF∥AB，OM=FH=

1

2

AB，
∴AF=AB．

點評：本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．