Question

已知△ABC中，∠ABC=45°，且CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE與CD交于點(diǎn)I．在BC上存在一點(diǎn)F，連接AF，使得∠BAF=∠ACD．AF交CD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H．
（1）求證：AF=AC；
（2）試探究線段HI與FG的大小關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）△ABC中，∠ABC=45°，且CD⊥AB，得到此三角形為等腰直角三角形，得到∠DBC=∠DCB=45°，由∠AFC為三角形ABF的外角，利用外角性質(zhì)得到∠AFC=∠BAF+∠ABF，又因?yàn)椤螦CF=∠ACD+∠DCB，根據(jù)∠BAF=∠ACD及等量代換得到∠ACB=∠AFC，利用等角對等邊即可得證；
（2）FG=2HI，理由為：過F作FM垂直于AB，由一對直角相等，已知角相等且AF=AC，利用AAS得到三角形AFM與三角形ACD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到AM=DC，再由三角形BDC為等腰直角三角形，得到BD=CD，等量代換得到AM=BD，根據(jù)同角的余角相等得到一對角相等，利用等角對等邊得到AH=BH，再由一對直角相等，利用ASA得到三角形AFM與三角形BDI全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到AF=BI，根據(jù)AF-AH=BI-BH，得到HF=HI，利用等角的余角相等得到∠HGI=∠HIG，利用等角等邊得到GH=HI，等量代換即可得證．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠ABC=45°，且CD⊥AB，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∵∠AFC為△ABF的外角，
∴∠AFC=∠DBC+∠BAF，
∵∠ACF=∠ACD+∠DCB，
∵∠BAF=∠ACD，∠DBC=∠DCB，
∴∠ACF=∠BAF，
∴AF=AC；

（2）FG=2HI，理由為：
過F作FM⊥AB，
在△AMF和△CDA中，

∠AMF=∠CDA=90° ∠MAF=∠DCA AF=CA

，
∴△AMF≌△CDA（AAS），
∴AM=CD，
∵△DBC為等腰直角三角形，
∴DB=DC，
∴AM=BD，
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠ACD=∠BAF，
∴∠ABE=∠BAF，
∴AH=BH，
在△AFM和△BID中，

∠FAM=∠IBD AM=BD ∠AMF=∠BDI=90°

，
∴△AFM≌△BID（ASA），
∴AF=BI，
∴AF-AH=BI-BH，即HF=HI，
∵∠AGD+∠GAD=90°，∠HGI=∠AGD，
∴∠HGI+∠GAD=90°，
∵∠ACD+∠CIE=90°，∠CIE=∠HIG，
∴∠HIG+∠ACD=90°，
∵∠GAD=∠ACD，
∴∠HGI=∠HIG，
∴HG=HI，
∴HG=HI=HF，
則FG=2HI．

點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．