Question

13．如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A₁B₁C₁，并寫出點(diǎn)A₁的坐標(biāo)；
（2）請(qǐng)畫出△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A₂BC₂；
（3）求出（2）中C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C₂點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留根號(hào)和π）；
（4）求出（2）△A₂BC₂的面積是多少．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，寫出點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A₁、B₁、C₁的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可得到△A₁B₁C₁；
（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，畫出點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A₂、C₂，則可得到△A₂BC₂；
（3）C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C₂點(diǎn)所經(jīng)過的路徑是以B點(diǎn)為圓心，BC為半徑，圓心角為90°的弧，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算即可；
（4）利用一個(gè)矩形的面積分別減去三個(gè)三角形的面積可計(jì)算出△A₂BC₂的面積．

解答 解：（1）如圖，△A₁B₁C₁為所作，點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（2，-4）；
（2）如圖，△A₂BC₂為所作；

（3）BC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
所以C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C₂點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長=$\frac{90•π•\sqrt{13}}{180}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$π；
（4）△A₂BC₂的面積=3×3-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×2×3=$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了軸對(duì)稱變換．