如圖,在矩形OABC中,點(diǎn)A(0,10),C(8,0).沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC,使點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)E處.分別以O(shè)C, OA所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O,D,C三點(diǎn).
(1)求D的的坐標(biāo)及拋物線的解析式;
(2)一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā),沿EC以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿CO以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似?
(3)點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上,點(diǎn)M在拋物線上,是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N,使以M,N,C,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)(不寫求解過程);若不存在,請(qǐng)說明理由。
(2)∵∠DEA+∠OEC=90°,∠OCE+∠OEC=90°,
∴∠DEA=∠OCE,
由(1)可得AD=3,AE=4,DE=5.
而CQ=t,EP=2t,∴PC=10﹣2t.
當(dāng)∠PQC=∠DAE=90°,△ADE∽△QPC,
∴=,即=,
解得t=.
當(dāng)∠QPC=∠DAE=90°,△ADE∽△PQC,
∴=,即=,
解得t=.
∴當(dāng)t=或時(shí),以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似.………(4分)
(3)假設(shè)存在符合條件的M、N點(diǎn),分兩種情況討論………………… (共4分酌情給分)
①EC為平行四邊形的對(duì)角線,由于拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過EC中點(diǎn),若四邊形MENC是平行四邊形,那么M點(diǎn)必為拋物線頂點(diǎn);
則:M(4,);而平行四邊形的對(duì)角線互相平分,那么線段MN必被EC中點(diǎn)(4,3)平分,則N(4,﹣);
②EC為平行四邊形的邊,則ECMN,設(shè)N(4,m),則M(4﹣8,m+6)或M(4+8,m﹣6);
將M(﹣4,m+6)代入拋物線的解析式中,得:m=﹣38,此時(shí) N(4,﹣38)、M(﹣4,﹣32);
將M(12,m﹣6)代入拋物線的解析式中,得:m=﹣26,此時(shí) N(4,﹣26)、M(12,﹣32);
綜上,存在符合條件的M、N點(diǎn),且它們的坐標(biāo)為:
①M(fèi)1(﹣4,﹣32),N1(4,﹣38)
②M2(12,﹣32),N2(4,﹣26)
③M3(4,),N3(4,﹣).
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