Question

【題目】綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接.

（1）求點(diǎn)三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸；

（2）點(diǎn)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，連接，，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn)，若是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中），連接，，，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1），. .拋物線的對稱軸為直線；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，面積有最大值是. .

【解析】

（1）令y=0，解一元二次方程可得A、B的坐標(biāo)，由x=0，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)．把拋物線解析式配方即可得到對稱軸；

（2）設(shè)點(diǎn)D（1，m），由CD=BD，得到，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程，解方程即可；

（3）過點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)E作直線ER⊥y軸于點(diǎn)R，過點(diǎn)P作PF⊥ER于點(diǎn)F，可得四邊形QRFP是矩形．由，得到．把代入，配方即可得到結(jié)論．

（1）令，得：．

解方程，得：，．

∵點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

由，得：，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

∵．

∴拋物線的對稱軸為直線．

（2）設(shè)點(diǎn)，

∵，∴，

∴

∴．

∴D（1，）．

（3）如圖，過點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)E作直線ER⊥y軸于點(diǎn)R，過點(diǎn)P作PF⊥ER于點(diǎn)F，

∴∠PQR=∠QRF=∠RFP=90°，

∴四邊形QRFP是矩形．

∵，

∴

．

∵，

∴

∴當(dāng)時(shí)，面積有最大值是．

當(dāng)時(shí)，，

∴．