Question

如圖，矩形ABCD中，BC=6，∠BAC=30°，E點(diǎn)為CD的中點(diǎn)．點(diǎn)P為對角線AC上的一動點(diǎn)．則①AC=

12

；②PD+PE的最小值等于

9

．

Answer 1

分析：①由矩形的性質(zhì)可知三角形ABC是直角三角形，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求出AC的長；
②過E作關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E′，則△EE'C為等邊三角形，△DE'C為直角三角形，BC=6，則CD=6

3

，PD+PE的最小值=DE′=CD×sin60°=9．

解答：解：①∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵BC=6，∠BAC=30°，
∴AC=2BC=12，
故答案為12；
②過E作關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E′，則△EE'C為等邊三角形，△DE'C為直角三角形，
∵AC=12，BC=6，
∴AB=DC=

AC2-BC2

=6

3

，
∴PD+PE的最小值=DE′=CD×sin60°=9．
故答案為9．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半以及勾股定理的運(yùn)用和最短路線問題：凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．