Question

5．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P是線段AD上一動點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，PO的延長線交BC于Q．
（1）求證：OP=OQ；
（2）若AD=4厘米，AB=3厘米，當(dāng)AP為何值時，四邊形PBQD是菱形，并加以說明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形性質(zhì)推出AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠PDO=∠QBO，根據(jù)全等三角形的判定ASA證△PDO≌△BQO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可．
（2）由菱形的性質(zhì)得出BP=PD，設(shè)AP=x厘米，則BP=PD=（4-x）厘米，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠PDO=∠QBO，
∵O為BD中點(diǎn)，
∴OB=OD，
在△PDO和△QBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDO=∠QBO}&{\;}\\{OB=OD}&{\;}\\{∠POD=∠BOQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PDO≌△BQO（ASA），
∴OP=OQ．
（2）解：當(dāng)AP=$\frac{7}{8}$時，四邊形PBQD是菱形；理由如下：
∵OB=OD，OP=OQ，
∴四邊形PBQD是平行四邊形，
當(dāng)四邊形PBQD是菱形時，BP=PD，
設(shè)AP=x厘米，則BP=PD=（4-x）厘米，
由勾股定理得：X²+3²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{7}{8}$，
即當(dāng)AP為$\frac{7}{8}$厘米時，四邊形PBQD是菱形．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定與性質(zhì)；題目比較好，綜合性比較強(qiáng)．