Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx-3（a≠0）與x軸交于點A（-2，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點Q從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，當(dāng)△PBQ存在時，求運動多少秒使△PBQ的面積最大，最大面積是多少？
（3）當(dāng)△PBQ的面積最大時，在BC下方的拋物線上存在點K，使S_△CBK：S_△PBQ=5：2，求K點坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）把點A、B的坐標分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)a、b的解析式，通過解方程組求得它們的值；
（2）設(shè)運動時間為t秒．利用三角形的面積公式列出S_△PBQ與t的函數(shù)關(guān)系式S_△PBQ=-

9

10

（t-1）²+

9

10

．利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進行解答；
（3）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=

3

4

x-3．由二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可設(shè)點K的坐標為（m，

3

8

m²-

3

4

m-3）．
如圖2，過點K作KE∥y軸，交BC于點E．結(jié)合已知條件和（2）中的結(jié)果求得S_△CBK=

9

4

．則根據(jù)圖形得到：S_△CBK=S_△CEK+S_△BEK=

1

2

EK•m+

1

2

•EK•（4-m），把相關(guān)線段的長度代入推知：-

3

4

m²+3m=

9

4

．易求得K₁（1，-

27

8

），K₂（3，-

15

8

）．

解答：解：（1）把點A（-2，0）、B（4，0）分別代入y=ax²+bx-3（a≠0），得

4a-2b-3=0 16a+4b-3=0

，
解得

a= 3 8 b=- 3 4

，
所以該拋物線的解析式為：y=

3

8

x²-

3

4

x-3；

（2）設(shè)運動時間為t秒，則AP=3t，BQ=t．
∴PB=6-3t．
由題意得，點C的坐標為（0，-3）．
在Rt△BOC中，BC=

32+42

=5．
如圖1，過點Q作QH⊥AB于點H．
∴QH∥CO，
∴△BHQ∽△BOC，
∴

HQ

OC

=

BQ

BC

，即

HQ

3

=

t

5

，
∴HQ=

3

5

t．
∴S_△PBQ=

1

2

PB•HQ=

1

2

（6-3t）•

3

5

t=-

9

10

t²+

9

5

t=-

9

10

（t-1）²+

9

10

．
當(dāng)△PBQ存在時，0＜t＜2
∴當(dāng)t=1時，
S_△PBQ最大=

9

10

．
答：運動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是

9

10

；

（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c（k≠0）．
把B（4，0），C（0，-3）代入，得

4k+c=0 c=-3

，
解得

k= 3 4 c=-3

，
∴直線BC的解析式為y=

3

4

x-3．
∵點K在拋物線上．
∴設(shè)點K的坐標為（m，

3

8

m²-

3

4

m-3）．
如圖2，過點K作KE∥y軸，交BC于點E．則點E的坐標為（m，

3

4

m-3）．
∴EK=

3

4

m-3-（

3

8

m²-

3

4

m-3）=-

3

8

m²+

3

2

m．
當(dāng)△PBQ的面積最大時，∵S_△CBK：S_△PBQ=5：2，S_△PBQ=

9

10

．
∴S_△CBK=

9

4

．
S_△CBK=S_△CEK+S_△BEK=

1

2

EK•m+

1

2

•EK•（4-m）
=

1

2

×4•EK
=2（-

3

8

m²+

3

2

m）
=-

3

4

m²+3m．
即：-

3

4

m²+3m=

9

4

．
解得 m₁=1，m₂=3．
∴K₁（1，-

27

8

），K₂（3，-

15

8

）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動點問題時要注意該點的運動范圍，即自變量的取值范圍．