Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為A（8，0），C（0，3），M是OA的中點，動點P從點C出發(fā)，沿著在CB以2個單位長度/秒的速度勻速向點B運動，達到點B后停止，連接OP，PM．
（1）點P的坐標為

 

；（用含有r的代數式表示）
（2）求當t為何值時，△OPM是以PM為腰的等腰三角形？
（3）如圖2，以PC為直徑作⊙D，連接BM，試求t為何值時，⊙D與BM相切？并直接寫出⊙D與線段BM有兩個交點時，t的取值范圍．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據點的移動規(guī)律，求出P點坐標；
（2）分兩種情況討論：①當PM=OP時，則點P在OM的垂直平分線上；②當PM=OM時，過點P作PF⊥OA于點F，再分兩種情況討論：當點F在點M左側時；當點F在點M右側時．
（3）當⊙D與BM相切時，設切點為E，根據△BDE∽△MBA列出比例式，求出t的值．

解答：解：（1）P點坐標為（2t，3）．

（2）∵四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為A（8，0），C（0，3），
∴OC=3，OA=8，
∵M點為OA中點，
∴OM=AM=4，
①當PM=OP時，則點P在OM的垂直平分線上，
∴PC=2，t=1；
②當PM=OM時，如圖1，過點P作PF⊥OA于點F，則易得，PF=OC=3，

∴FM=

42-32

=

7

．
當點F在點M左側時，有PC=OF=4-

7

，∴t=

4- 7

2

．
當點F在點M右側時，有PC=OF=4+

7

，∴t=

4+ 7

2

．
∴當t=1或t=

4- 7

2

或t=

4+ 7

2

時，△OPM是以PM為腰的等腰三角形．

（3）如圖2，當⊙D與BM相切時，設切點為E，連接DE，則DE⊥BE，∠DEB=90°，

∵PC=2t，∴CD=DP=DE=t，BD=8-t．
∵四邊形OABC是矩形，
∴OA∥BC，∠OAB=90°，
∴∠AMB=∠CBM，且在直角Rt△ABM中，易得BM=5，
∴△BDE∽△MBA，
∴

DE

AB

=

BD

BM

，即

t

3

=

8-t

5

，
∴t=3，
∴當t=3時，⊙D與BM相切，
⊙D與線段BM有兩個交點時，t的取值范圍是3＜t≤

25

8

．
故答案為（2t，3）．

點評：本題考查了圓綜合題，涉及動點問題和三角形相似及等腰三角形的性質及矩形的性質，要注意進行分類討論．