Question

已知△ABC中，∠BAC=90°，點D，E在BC邊上，且BA=BE，CA=CD，作△ADE的外接圓⊙O并連接OA、OD、OE．
（1）求證：BO平分∠ABC；
（2）求證：∠DAO=90°-∠AED；
（3）求∠DOE的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明：∵OA=OE，BO=BO，BA=BE，
∴△OAB≌△OEB，
∴∠ABO=∠EBO．
即BO平分∠ABC．

（2）證明：∵∠DAO=，
∠AOD=2∠AED，
∴∠DAO=90°-∠AED．

（3）解：∵BA=BE，CA=CD，
∴∠BAE=∠BEA，∠CAD=∠CDA．
∴∠BEA=，∠CDA=．
∴∠BEA+∠CDA=180°-（∠ABC+∠ACB）=135°．
∴∠DAE=45°，
∴∠DOE=90°．
分析：（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理即可證明；
（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理進(jìn)行計算．
點評：綜合運用了全等三角形的判定以及性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等．