Question

 (2010．十堰)已知關于x的方程mx²-(3m－1)x+2m－2=0

（1）求證：無論m取任何實數(shù)時，方程恒有實數(shù)根.

（2）若關于x的二次函數(shù)y= mx²-(3m－1)x+2m－2的圖象與x軸兩交點間的距離為2時，求拋物線的解析式.

（3）在直角坐標系xoy中，畫出（2）中的函數(shù)圖象，結合圖象回答問題：當直線y=x+b與（2）中的函數(shù)圖象只有兩個交點時，求b的取值范圍.

Answer 1

解：（1）分兩種情況討論：

①當m=0 時，方程為x－2=0，∴x=2 方程有實數(shù)根

②當m≠0時，則一元二次方程的根的判別式

△=[－（3m－1）]²－4m（2m－2）=m²+2m+1=（m+1）²≥0

不論m為何實數(shù)，△≥0成立，∴方程恒有實數(shù)根

綜合①②，可知m取任何實數(shù)，方程mx²-(3m－1)x+2m－2=0恒有實數(shù)根.

（2）設x₁，x₂為拋物線y= mx²-(3m－1)x+2m－2與x軸交點的橫坐標.

則有x₁+x₂=，x₁·x₂=

由| x₁－x₂|====，

由| x₁－x₂|=2得=2，∴=2或=－2

∴m=1或m=

∴所求拋物線的解析式為：y₁=x²－2x或y₂=x²+2x－

即y₁= x（x－2）或y₂=（x－2）（x－4）其圖象如右圖所示.

（3）在（2）的條件下，直線y=x+b與拋物線y₁，y₂組成的圖象只有兩個交點，結合圖象，求b的取值范圍.

，當y₁=y時，得x²－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－；

同理，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－.

觀察函數(shù)圖象可知當b<－或b>－時，直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個交點.

由

當y₁=y₂時，有x=2或x=1

當x=1時，y=－1

所以過兩拋物線交點（1，－1），（2，0）的直線y=x－2，

綜上所述可知：當b<－或b>－或b=－2時，直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個交點.