Question

12．問(wèn)題情境
如圖1，在△AOB與△DOE中，∠AOB=∠DOE=90°，OA=OB，OD=OE，當(dāng)點(diǎn)D，E分別在△AOB的邊OA，OB上時(shí)，結(jié)論（1）AD=BE和（2）AD⊥BE都成立．
問(wèn)題探究
如圖2，若當(dāng)點(diǎn)D，E不在△AOB的邊OA，OB上時(shí)，上述結(jié)論是否成立？理由．
問(wèn)題延伸
如圖3，將問(wèn)題情境中的條件，∠AOB=∠DOE=90°換為∠AOB=∠DOE=40°，且點(diǎn)D，E不在△AOB的邊OA，OB上時(shí)，上述結(jié)論是否成立？理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△AOD≌△BOE即可得到AD=BE，要證明BE⊥AD，在對(duì)頂△AKM和△BKO中利用對(duì)應(yīng)角相等即可證明．
（2）利用全等三角形可以證明結(jié)論（1）成立，根據(jù)對(duì)頂△AKM和△BKO可以證明∠AMB=40°即結(jié)論不成立．

解答 （1）解：如圖2中，結(jié)論仍然成立．理由如下：
延長(zhǎng)BE交AO于K、交AD于M．
∵∠DOE=∠AOB=90°，
∴∠AOD=∠BOE，
在△AOD和△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}\\{∠AOD=∠BOE}\\{AO=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△BOE，
∴AD=BE，∠DAO=∠OBE，
∵∠OBE+∠OKB=90°，∠OKB=∠AKM，
∴∠DAO+∠AKM=90°，
∴∠AMK=90°，
∴BE⊥AD，BE=AD．
（2）如圖3中，結(jié)論（1）AD=EB成立，結(jié)論（2）AD⊥BE不成立．
證明：∵∠AOB=∠DOE=40°，
在△AOD和△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}\\{∠AOD=∠BOE}\\{AO=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△BOE，
∴AD=BE，∠DAO=∠OBE，
∵∠AKM=∠OKB，
∴∠AMB=∠AOB=40°，
∴BE和AD不垂直．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等角的余角相等等知識(shí)，尋找全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，掌握從特殊到一般的推理方法，理解形變而結(jié)論不變的思想．