Question

13．如圖（1），△ABC、△AED全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，△EAD固定不動，將△BAC繞著點A逆時針旋轉（旋轉角α滿足 0°＜α＜180°），連結EC和BD，相交于點F；
（1）猜想線段EC、BD的關系并證明你的結論；
（2）如圖（2）連結BE，直接寫出∠EBD的大小為：45°；
（3）如圖（3）連結AF，求證：AF平分∠BFE．

Answer 1

分析 （1）BD與EC交于點G，如圖（1）由△ABC、△AED全等的等腰直角三角形，得到AB=AC=AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，則根據旋轉的定義可把△BAD繞點A順時針旋90°得到△CAE，然后根據旋轉的性質得EC=BD，∠1=∠2，再根據三角形內角和定理可得∠CFG=∠BAG=90°，于是可判斷EC⊥BD；
（2）如圖（2），由（1）得∠1=∠2，由AE=AC得∠2=∠3，則∠1=∠3，加上∠ABE=∠AEB，則∠FBE=∠FEB，于是可判斷△BEF為等腰直角三角形，所以∠EBF=45°；
（3）過點A作AM⊥BD于M，AN⊥CE，如圖（3），由（1）得△BAD繞點A順時針旋90°得到△CAE，根據旋轉的性質得△ABD≌△ACE，再根據全等三角形的性質得AM=AN，然后利用角平分線定理的逆定理判斷AF平分∠BFE．

解答 （1）解：EC=BD，EC⊥BD．理由如下：
BD與EC交于點G，如圖（1）

∵△ABC、△AED全等的等腰直角三角形，
∴AB=AC=AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴△BAD繞點A順時針旋90°得到△CAE，
∴EC=BD，∠1=∠2，
∵∠BGA=∠CGD，
∴∠CFG=∠BAG=90°，
∴EC⊥BD；
（2）解：如圖（2），

由（1）得∠1=∠2，
∵AE=AC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠FBE=∠FEB，
由（1）得∠CFB=90°，
∴△BEF為等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°；
故答案為45°；
（3）證明：過點A作AM⊥BD于M，AN⊥CE，如圖（3），

由（1）得△BAD繞點A順時針旋90°得到△CAE，
∴△ABD≌△ACE，
∴AM=AN，
∴AF平分∠BFE．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．解決（3）的關鍵是靈活應用角平分線定理的逆定理．