Question

13．如圖（1），△ABC、△AED全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，△EAD固定不動(dòng)，將△BAC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α滿足 0°＜α＜180°），連結(jié)EC和BD，相交于點(diǎn)F；
（1）猜想線段EC、BD的關(guān)系并證明你的結(jié)論；
（2）如圖（2）連結(jié)BE，直接寫出∠EBD的大小為：45°；
（3）如圖（3）連結(jié)AF，求證：AF平分∠BFE．

Answer 1

分析 （1）BD與EC交于點(diǎn)G，如圖（1）由△ABC、△AED全等的等腰直角三角形，得到AB=AC=AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可把△BAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋90°得到△CAE，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得EC=BD，∠1=∠2，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠CFG=∠BAG=90°，于是可判斷EC⊥BD；
（2）如圖（2），由（1）得∠1=∠2，由AE=AC得∠2=∠3，則∠1=∠3，加上∠ABE=∠AEB，則∠FBE=∠FEB，于是可判斷△BEF為等腰直角三角形，所以∠EBF=45°；
（3）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BD于M，AN⊥CE，如圖（3），由（1）得△BAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋90°得到△CAE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△ABD≌△ACE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AM=AN，然后利用角平分線定理的逆定理判斷AF平分∠BFE．

解答 （1）解：EC=BD，EC⊥BD．理由如下：
BD與EC交于點(diǎn)G，如圖（1）

∵△ABC、△AED全等的等腰直角三角形，
∴AB=AC=AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴△BAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋90°得到△CAE，
∴EC=BD，∠1=∠2，
∵∠BGA=∠CGD，
∴∠CFG=∠BAG=90°，
∴EC⊥BD；
（2）解：如圖（2），

由（1）得∠1=∠2，
∵AE=AC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠FBE=∠FEB，
由（1）得∠CFB=90°，
∴△BEF為等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°；
故答案為45°；
（3）證明：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BD于M，AN⊥CE，如圖（3），

由（1）得△BAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋90°得到△CAE，
∴△ABD≌△ACE，
∴AM=AN，
∴AF平分∠BFE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決（3）的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用角平分線定理的逆定理．