Question

在平面直角坐標系中，現將一塊腰長為

5

的等腰直角三角板ABC放在第三象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，-2），直角頂點C在x軸的負半軸上（如圖所示），拋物線y=ax²+ax+2經過點B．
（1）點C的坐標為

（-1，0）

，點B的坐標為

（-3，-1）

；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作BD⊥x軸于D，由于AC=

5

，AO=2，利用勾股定理可計算出OC=1，則C點坐標為（-1，0）；根據等腰直角三角形的性質得∠ACB=90°，BC=AC，根據等角的余角相等得到∠DBC=∠ACO，根據三角形全等的判定方法可證得Rt△DBC≌Rt△OCA，則DC=OA=2，DB=OC=1，OD=OC+CD=1+2=3，于是得到B點坐標為（-3，-1）；
（2）由于拋物線y=ax²+ax+2經過點B，把B（-3，-1）代入可求出a的值，即可得到拋物線的解析式；
（3）由于要以AC為直角邊得到等腰直角三角形，則①過A點作P₁A⊥AC，且AP₁=AC=

5

，△ACP₁為等腰直角三角形；②過C點作P₂C⊥CA，且CP₂=AC=

5

，△ACP₂為等腰直角三角形，然后利用全等三角形的判定與性質確定P₁與P₂的坐標，再分別把它們代入拋物線的解析式來確定是否在拋物線上．

解答：解：（1）作BD⊥x軸于D，如圖，
∵AC=

5

，A點坐標為（0，-2），
∴OC=

AC2-OA2

=1，
∴C點坐標為（-1，0）；
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，BC=AC，
∴∠DCB+∠ACO=90°，∠DCB+∠DBC=90°，
∴∠DBC=∠ACO，
∴Rt△DBC≌Rt△OCA，
∴DC=OA=2，DB=OC=1，
∴OD=OC+CD=1+2=3，
∴B點坐標為（-3，-1）；
故答案為（-1，0），（-3，-1）；
（2）把B（-3，-1）代入y=ax²+ax+2得（-3）²a-3a+2=-1，解得a=-

1

2

，
拋物線的解析式為y=-

1

2

x²-

1

2

x+2；
（3）存在．理由如下：
①過A點作P₁A⊥AC，且AP₁=AC=

5

，則△ACP₁為等腰直角三角形，再作P₁E⊥y軸于E，如圖，
與（1）一樣可證得Rt△EAP₁≌Rt△OCA，
∴P₁E=OA=2，AE=OC=1，
∴OE=OA-AE=2-1=1，
∴P₁點的坐標為（2，-1），
當x=2時，y=-

1

2

x²-

1

2

x+2=-

1

2

×2²-

1

2

×2+2=-1，
∴P₁點在拋物線上；
②過C點作P₂C⊥CA，且CP₂=AC=

5

，則△ACP₂為等腰直角三角形，再作P₂F⊥x軸于F，如圖，
與（1）一樣可證得Rt△FCP₂≌Rt△OCA，
∴P₂F=OC=1，CF=OA=2，
∴OF=CF-OC=2-1=1，
∴P₂點的坐標為（1，1），
當x=1時，y=-

1

2

x²-

1

2

x+2=-

1

2

×1²-

1

2

×1+2=1，
∴P₂點在拋物線上，
∴在拋物線上存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形．滿足條件的點P的坐標為（2，-1）、（1，1）．

點評：本題考查了二次函數綜合題：二次函數y=ax²+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）的圖象為拋物線，其頂點式為y=a（x-

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，當a＞0，y_最小值=

4ac-b2

4a

；當a＜0，y_{最，大值}=

4ac-b2

4a

；拋物線上的點的橫縱坐標滿足拋物線的解析式；對于三角形全等的判定與性質以及勾股定理要熟練運用．