Question

如圖，y=

3

x

與直線y=-x+m交于C、D兩點(diǎn)，直線y=-x+m與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，則AC•AD=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

專題：計(jì)算題

分析：作CE⊥y軸，DF⊥y軸，對(duì)于一次函數(shù)解析式，分別令x與y為0求出對(duì)應(yīng)y與x的值，確定出OA=OB，即三角形AOB為等腰直角三角形，得到∠FAD=45°，聯(lián)立直線與反比例解析式，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求出EC•DF的值，在直角三角形AEC和直角三角形AFD中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出AC與AD，即可求出AD•AD的值．

解答：解：作CE⊥y軸，DF⊥y軸，
對(duì)于一次函數(shù)y=-x+m，
令x=0，得到y(tǒng)=m；令y=0，得到x=m，即OA=OB，
∴△AOB為等腰直角三角形，且∠FAD=45°，
聯(lián)立得：

y= 3 x y=-x+m

，
消去y得：

3

x

=-x+m，
整理得：x²-mx+3=0，
設(shè)C、D橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，即方程的兩根分別為x₁，x₂，
∴x₁x₂=3，即EC•DF=3，
在Rt△ACE中，sin∠EAC=

EC

AC

，即AC=

EC

sin∠EAC

，
在Rt△AFD中，sin∠FAD=

FD

AD

，即AD=

DF

sin∠FAD

，
∴AC•AD=

EC•DF

sin2∠FAD

=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)．